Z 2 Em R3

na figura abaixo. Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante definidos: * comprimento (denominado módulo) * direção * sentido (de A para B) 1. A direção é a da reta que contém o segmento. 2. O sentido é dado pelo sentido do movimento. 3. O módulo é o comprimento do segmento. Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os segmentos orientados…

e {b,a} são iguais, mas os pares ordenados (a,b) e (b,a) são diferentes ◦ A representação de pontos em um plano cartesiano é um exemplo comum de pares ordenados: o ponto (2,1) é diferente do ponto (1,2) ◦ Os pontos ordenados (x,y) e (z,w) são iguais somente se x = z e y = w PRODUTO CARTESIANO ◦ Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo S ◦ O Produto Cartesiano (ou produto cruzado) de A e B, denotado por A X B é o conjunto definido por: ▪ A X B = { (x,y) | x ∈ A ⋀ y ∈ B } ◦ Ou seja, o Produto

. . . . 10 1.7 Mudan¸a de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 19 1.8 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2 2 Cap´ ıtulo 1 Espa¸o Vetorial c 1.1 Defini¸˜o ca Espa¸o vetorial sobre um corpo K ´ um conjunto n˜o vazio V de elementos u, v, w, · · · , chamados de c e a . + ca vetores, munido das opera¸˜es soma + : V × V −→ V e…

R2 em R3. Indica-se dois modos usados para definir uma função. T: R2 R3; T(x, y) = (x, x – y, y) ou T: R2R3 (x, y) (x, x – y, y) a) T(2, – 1) = (2, 3, – 1); assim o vetor (2, 3, – 1)  R3 é a imagem, por T, do vetor (2, – 1)  R2. Do mesmo modo: T(0, 2) = (0, – 2, 2) T(a, a) = (a, 0, a), a  R. b) O vetor do R2 cuja imagem pela aplicação T seja (2, – 2, 4). (x, x – y, y) = (2, – 2, 4)  x =…

Cálculo Avançado: Teoremas de Green, Gauss e Stokes (tópicos teóricos e aplicações físicas) Prof. Lúcio Fassarella 1 Teorema de Green Problem 1 Prove o Teorema de Green no disco, por veri…cação direta. ~ Problem 2 Seja F : U ! R2 ; U R2 aberto, campo vetorial continuamente diferenciável, ~ ; F (x; y) = M (x; y)~ + N (x; y) ~ i j De…na @M @N ~ r F := + ; r @x @y @N ~ F := @x Considere uma região aberta R U com fronteira regular por partes C…

Sum´rio a 1 Matrizes e Determinantes 1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Determinante de uma matriz quadrada 1.3 Matriz escalonada . . . . . . . . . . . 1.4 Equivalˆncia de matrizes por linha . . e . . . . 3 3 5 6 7 2 Sistemas Lineares 2.1 Sistema de Equa¸˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 2.2 Classifica¸˜o de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 9 9 10…

seguintes campos vetoriais quais os que são conservativos? a) 𝑓⃗(x; y; z) = (x2cosy + z; y2seny + 1; z2 – xy) em R3 b) 𝑓⃗(x; y; z) = (- cosx + senx; z; y) em R3 c) 𝑓⃗ (x; y; z) = (2y; 5xz; x2y2z2) em R3 d) 𝑓⃗ (x; y; z) = (lnxyz; lnyz; lnzx) em R3; e) 𝑓⃗ (x; y) = (𝑥 2 + 𝑦; 𝑦 2 − 𝑥) em R2; f) 𝑓⃗ (x; y; z) = (𝑦 2 − 3 − 𝑦 1 ; 𝑥 2 +𝑥𝑦 𝑥+𝑦 + 2𝑥𝑦 + 2𝑦) 2) Dado o campo conservativo 𝑓⃗ (x; y; z) = (yez; xez; xyez) em R3,, determine uma função potencial a ele. 3) Dado o campo conservativo

1 LISTA 1  CÁLCULO 2  02/09/2012  PROF. LUÍS ANTÔNIO. Questão 1. (a) Determine a equação da reta que passa pelos pontos (3, 5) e (−3, −1). (b) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e que seja paralela ao vetor v = (−1, 1). (c) Determine a equação vetorial da reta que que passa pelo ponto (1, −1) e é perpendicular a reta 2x + y = 1. (d) Determine a equação do plano que passa pelo ponto (1, 1, 1) e que seja perpendicular a direção do vetor n = (2, 1, 3).…

ker(T): N(T) = {v V/T(v) = 0} R Observemos que N(T) V e N(T) ≠ , pois 0 N(T), tendo em vista que T(0) = 0. 1) Exemplo: Seja T:R2  R3 tal que T(x,y) = (0, x+y, 0). N(T) = {(x,y) ∈R2/ T(x,y) = (0,0,0)} Então, T(x,y) = (0,x+y,0) = (0,0,0) Assim, x+y = 0 x = -y Portanto, N(T) = {( x,y) ∈R2/ x = -y} = {(-y,y), y ∈R}. Uma base é {(-1,1)} e dimN(T) = 1 Representação Gráfica: 2) T:R2 Determinar o núcleo da seguinte transformação linear R2 , T(x,y) = (x+y, 2x – y) Por definição: N(T) =…

sobre a transformação T. Ex.: 1. Se T é uma transformação do R3 para R2 definida pela equação: T(x1, x2, x3) = ( x1+x2, x2+x3) T: R3  R2 Então T leva o vetor (1,1,1) no vetor (2,2) Ou seja, T(1,1,1) = (2,2) O vetor (3,2,0) no vetor T(3,2,0) = (5,2) 2. Uma transformação T: R2  R3 associa vetores v = (x,y) R2 com vetores W = (x,y,z) R3. Se a lei que define a transformação T for: T(x,y) = (3x, -2y, x-y) T(2,1) = (3.2, -2.1, 2-1) T(2,1) = (6, -2,1) (2,1) (-1,3) (0,0)…