Z 2 Em R3

neutro uV, 1u = u 2 17/11/2014 Subespaço Vetorial Seja V um espaço vetorial. Um subconjunto não vazio W de V é um subespaço vetorial de V se e só se u , v  W , u  v  W   , u  W , u  W ou seja: W é fechado para a soma e para o produto por um escalar. Exemplo de subespaço vetorial  W   x, y , z    3 : x  y e 2 x  z  Exercícios: verificar se um subconjunto W de um espaço vetorial é um subespaço vetorial V. 3 17/11/2014 Espaços vetoriais _ Aula 2 e 3…

a) T: R2 R3: T(x,y) = (x – y, 3x, -2y) b) T: R3 R3: T(x,y,z) = (x + y, x – y, 0) c) T: R2 R2: T(x,y) = (x2 + y2, x) d) T: R2 R: T(x,y) = xy 2) Determinar a transformação linear T: R2 R3 tal que T(1,-1,0) = (1,1), T(0,1,1) = (2,2) e T(0,0,1) = (3,3). E achar T(1,0,0) e T(0,1,0). 3) Seja o operador linear T: R2 R2 , T(x,y) = (2x + y, 4x + 2y). Quais dos seguintes vetores pertencem a N(T)? a) (1,-2) b) (2,-3) c) (-3,6) Quais dos vetores pertencem a Im(T)? a) (2,4) b)…

c) 2S + 4T f) S  S 2. Seja a transformação linear: S: R3  R4, S(x,y,z) = (x + y, z, x - y, y + z) a) Calcular (S  T) (x,y) se T: R2  R3 (x, y)  (2x + y, x - y, x - 3y) b) Determinar a matriz canônica de S  T e mostrar que ela é o produto da matriz canônica de S pela matriz canônica de T. 3.As transformações S: R2  R3 e T: R3  R2 são tais que S(x, y)= (y, x – y, 2x + 2y) e T(x, y, z)= (x, y). a) Sendo B = {(1,0,-1), (1,1,1), (1,0,0)} uma base do R3, determinar…

Capítulo 10 INTEGRAÇÃO TRIPLA 10.1 Integração Tripla sobre Paralelepípedos Este capítulo é totalmente análogo ao anterior. Sejam R ⊂ R3 o paralelepípedo retangular definido por R = [a, b] × [c, d] × [p, q] e a função limitada w = f (x, y, z) definida em R. Consideremos as seguintes partições de ordem n dos intervalos: [a, b], [c, d] e [p, q]: a = x0 < x1 < ...... . . . . . . < xn = b c = y0 < y1 < ...... . . . . . . < yn = d p = z0 < z1 < ...... . . . . . .…

espa¸o vetorial indicado, encontrar o subespa¸o e c c gerado por S, isto ´, [S]. e . . (a) S = {(1, 0), (2, −1)} , V = R2 . . . (b) S = {(1, 1, 1), (2, 2, 0)} , V = R3 . . . (c) S = {p0 , p1 , p2 , p3 } , V = P3 (R), onde . . . . p0 (t) = 1, p1 (t) = t p2 (t) = t2 e p3 (t) = 1 + t3 , t ∈ R. {( ) ( )} 0 1 0 0 . . (d) S = , , V = M2 (R). 0 0 −1 0 Exerc´ ıcio 2. Mostrar que os conjuntos {f1 , f2 , f3 } e {g1 , g2 , g3 } geram o mesmo subespa¸o vetorial do…

escalar ca Sejam f : R3 → R uma fun¸˜o real continua e C uma curva em R3 , definida pela fun¸˜o de ca ca classe C 1 tais que σ : [a, b] −→ R3 t −→ (x(t), y(t), z(t)). Defini¸˜o 1. A integral de f ao longo de C ´ denotada e definida por ca e b f= C f (σ(t)) σ ′ (t) dt. f (x, y, z)ds = C a 1 Observa¸˜o 2. . ca 1. A defini¸˜o ´ v´lida se σ ´ de classe C 1 por partes ou f ◦ σ ´ continua por partes. ca e a e e Neste caso, a integral C f (x, y, z)ds…

y=0 co 1. Em R3 as solu¸˜es do sistema s˜o dadas por: a a) (0, 0, z) com z ∈ R. b) (x, y, 0) com x, y ∈ R. c) O sistema ´ imposs´ e ıvel, n˜o tem solu¸˜o. a ca d) (0, 0, 0) ´ a unica solu¸˜o. e ´ ca 2. Considere as seguintes matrizes: A= 3 −1 0 2 7 1 , B= 5 4 1 2 −3 −4 , C= Ent˜o: a a) 2A = b) AB = c) C 2 = 6 −2 0 . 2 7 1 15 −4 0 . 4 −21 −4 7 10 . 15 22 d) A + C = 4 −1 0 . 5 11 1 co 3. Seja A ∈ Rn×n com n ≥ 2.…

Simulador de Indutância Filtros com integradores Secção de Sallen & Key 2 ELECTRÓNICA GERAL FILTROS ACTIVOS Análise no domínio da frequência: Pólos, Zeros e Funções de Transferência Exemplo: Determinar a função de transferência T(s)=VO(s) / Vi(s) do seguinte circuito 3 R2 Vo sR2C  1 R2 R2    Vi R  R2 R1  sR2C  1  R2 R1  sR2C  1  R2 1 sR2C  1 1 Vo  Vi R1  ( R2 // 1 sC 1 R2  sC V Vo  i 1 R2 sC R1  1 R2  sC R2 2 1 ) sC ( R2 // 1 ) sC 1 Vo R2 R1C 1    Vi…

desse espaço. Por exemplo, ao fixarmos em R3 o vetor u = (2, – 1, 3), podemos obter a partir de u qualquer vetor v do tipo v = a.u, onde a  R. Assim, o vetor w = (– 4, 2, – 6) é obtido de u quando a = – 2. Na verdade, qualquer vetor da reta que contém u é “criado” por u, ou, equivalentemente, podemos dizer que u “gera” a reta que o contém. Revisando e, ao mesmo tempo, ilustrando um pouco mais a definição que segue, sabemos que todo vetor v = (a, b, c) em R3 pode ser escrito na forma…

Lista 2 – Funções compostas, matrizes de transformações lineares 1-) Sejam F , G ∈ L( R 3 , R 2 ) definidas por F ( x, y, z ) = (0, 2 x) e G ( x, y, z ) = ( x − y, x) e H ∈ L( R 2 ) dado por H ( x, y ) = ( x + y, x − y ) . Determinar: Ho( F + G ) . H ∈ L( R 2 ) 2-) Sendo F,G e definidos por F ( x, y ) = ( x, 2 y ), G ( x, y ) = ( y, x + y ), H ( x, y ) = (0, x), determinar: F + H , FoG , Go( H + F ), e GoF , HoF , HoFoG e GoFoH . 3-) Sejam F , G ∈ L( R3 ) assim