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C´lculo Diferencial e Integral 3 a Leandro Tomaz de Araujo
Dezembro de 2009

Integrais de Linha
A integral de Riemann

b a f (x)dx de uma funa¸˜o de uma vari´vel real pode ser generalizada ca a

de v´rios modos, por exemplo, integra¸˜o dupla e tripla. Uma outra generaliza¸˜o ´ a que a ca ca e passamos a descrever.

Integral de Linha de uma fun¸˜o escalar ca Sejam f : R3 → R uma fun¸˜o real continua e C uma curva em R3 , definida pela fun¸˜o de ca ca classe C 1 tais que σ : [a, b] −→ R3 t −→ (x(t), y(t), z(t)).

Defini¸˜o 1. A integral de f ao longo de C ´ denotada e definida por ca e b f=
C

f (σ(t)) σ ′ (t) dt.

f (x, y, z)ds =
C

a

1

Observa¸˜o 2. . ca 1. A defini¸˜o ´ v´lida se σ ´ de classe C 1 por partes ou f ◦ σ ´ continua por partes. ca e a e e
Neste caso, a integral

C

f (x, y, z)ds ´ calculada dividndo-se o intervalo [a, b] em um e n´mero finito de intervalos fechados, onde f (σ(t)) σ ′ (t) ´ cont´ u e ınua. 2. A integral de linha ´ uma generaliza¸˜o natural do comprimento de arco para curvas. e ca
Se f (x, y, z) = 1 para todo (x, y, z), temos b σ ′ (t) dt = comprimento da curva C

ds =
C

a

(x2 + y 2 + z 2 )ds, onde C ´ a h´lice definida por e e

Exemplo 3. Calcule a integral de linha
C

σ(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0, 2π].
Solu¸ao:Observe que c˜ 1. a curva: σ(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0, 2π];
2. o vetor velocidade σ ′ (t) = (−sen t, cos t, 1), t ∈ [0, 2π]
3. a norma do vetor velocidade σ ′ (t) =

√

2

Ent˜o, temos: a 2

C

√ π(cos2 t + sen2 t + t2 ) 2dt

2

(x2 + y 2 + z 2 )ds =

π(1 + t2 )dt

0

=

0
√
2 2
=
(3 + 4π 2 ).
3

2

Integral de linha de campo vetorial
Consideremos um curva cem R3 parametrizada por σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), onde σ ´ de e classe C 1 , e F = (F1 , F2 , F3 ) campo vetorial cont´ ınuo definido em C.
Defini¸˜o 4. A integral de linha F ao longo de C ´ denotada e definida por: ca e b C

F