trabalho

´
3.a Lista de Exerc´ ıcios de SMA304 - Algebra Linear
Exerc´
ıcio 1. Para cada um dos subconjuntos S ⊆ V , onde V ´ o espa¸o vetorial indicado, encontrar o subespa¸o e c c gerado por S, isto ´, [S]. e .
.
(a) S = {(1, 0), (2, −1)} , V = R2 .
.
.
(b) S = {(1, 1, 1), (2, 2, 0)} , V = R3 .
.
.
(c) S = {p0 , p1 , p2 , p3 } , V = P3 (R), onde
.
.
.
. p0 (t) = 1, p1 (t) = t p2 (t) = t2 e p3 (t) = 1 + t3 , t ∈ R.
{(
) (
)}
0 1
0 0
.
.
(d) S =
,
, V = M2 (R).
0 0
−1 0
Exerc´
ıcio 2. Mostrar que os conjuntos {f1 , f2 , f3 } e {g1 , g2 , g3 } geram o mesmo subespa¸o vetorial do espa¸o c c vetorial C(R), onde
.
.
.
f1 (t) = sen2 (t), f2 (t) = cos2 (t), f3 (t) = sen(t) cos(t), e . g1 (t) = 1,

. g2 (t) = sen(2t),

. g3 (t) = cos(2t),

t ∈ R.

Exerc´ ıcio 3.
(a) Mostre que o conjunto dos n´meros complexos C com as opera¸˜es usuais de adi¸˜o e multiplica¸˜o de u co ca ca n´meros complexos ´ um espa¸o vetorial sobre R. u e c .
.
(b) Mostre que os n´meros complexos z1 = 2 + 3i e z2 = 1 − 2i geram o espa¸o vetorial C sobre R. u c
Exerc´
ıcio 4. Verificar se as seguintes matrizes A1 , A2 , A3 , A4 geram o espa¸o vetorial M2 (R), onde: c (
)
(
)
(
)
(
)
1 0
1 1
0 0
0 1
.
.
.
.
A1 =
, A2 =
, A3 =
, A4 =
.
0 1
0 0
1 1
2 1
Exerc´
ıcio 5. Mostre que os polinˆmios p1 , p2 , p3 , p4 geram P3 (R) onde: o .
.
. p1 (x) = 1, p2 (x) = 1 − x, p3 (x) = (1 − x)2 , p4 (x)(1 − x)3 , x ∈ R.
.
.
Exerc´
ıcio 6. Considere os seguintes vetores de R3 ; u1 = (−1, 0, 1) e u2 = (3, 4, −2). Determine um sistema de equa¸˜es lineares homogˆneas para o qual o espa¸o solu¸˜o seja exatamente o subespa¸o gerado pelos vetores co e c ca c u 1 , u2 .
Exerc´
ıcio 7. Determine os geradores para cada um dos seguintes subespa¸os de R3 : c .
3
(a) U = { (x, y, z) ∈ R ; x − 2y = 0 }. Intreprete geometricamente.
.
(b) V = { (x, y, z) ∈ R3 ; x + z = 0 e x − 2y = 0 }. Intreprete geometricamente.
.