economia

Espacos Vetoriais 1. Verique se V = f(x; y) 2 R; x > 0g e um espaco vetorial real munido das operac~oes: (x1; y1)  (x2; y2) = (x1x2; y1 + y2) e   (x; y) = (x; y), para todo  2 R. 2. Sejam V e W espacos vetoriais reais. Mostre que Z = V W = f(v; u)= v 2 V e w 2 Wg munido das seguintes operac~oes: (v1;w1) + (v2;w2) = (v1 + v2;w1 + w2) e (v;w) = (v; w), para todo  2 R, e um espaco vetorial, chamado de produto cartesiano de V e W. 3. Seja V f(x; y) 2 R2g. Mostre que V n~ao e um espaco vetorial em relac~ao a cada uma das seguintes operac~oes de adic~ao e multiplicac~ao por escalar abaixo, explicitando quais das condic~oes n~ao s~ao satisfeitas: (a) (x; y) + (z;w) = (x + z; y + w) e (a; b) = (a; b); (b) (x; y) + (z;w) = (x; y) e (a; b) = (a; b); (c) (x; y) + (z;w) = (x + z; y + w) e (a; b) = (2a; 2b); (d) (x; y) + (z;w) = (x + z; y + w) e (a; b) = (a; 0); (e) (x; y) + (z;w) = (x + w; y + z) e (a; b) = (a; b); 4. Use os axiomas de espaco vetorial E para provar, por induc~ao, que se v 2 E e n 2 N ent~ao n
v = v + v +


+ v (n parcelas). 5. Seja R1 = f(x1; x2; : : : ); xi 2 Rg o conjunto de todas as sequ^encias de numeros reais. Dena em R1 operac~oes que o torne um espaco vetorial real. 6. Dena o que vem a ser um espaco vetorial sobre C e d^e exemplos de espacos vetoriais complexos. 7. Mostre que o conjunto C([a; b];R) de todas as func~oes f : [a; b] ! R contnuas e um espaco vetorial real,…

co a (a) F : R3 → R3 , F (x, y, z) = (x − y, x + y, 0) (b) F : R3 → R3 , F (x, y, z) = (2x − y + z, 0, 0) (c) F : R3 → R3 , F (x, y, z) = (2x2 + 3y, x, z) (d) F : R2 → R2 , F (x, y) = (x + y − 1, 2x − y + 2) (e) F : Pn (R) → Pn (R), F (p(t)) = tp (t) (f) F : Pn (R) → Pn (R), F (p(t)) = p (t) + t2 p (t) 2. Obtenha a transforma¸˜o linear F : R2 → M2×2 (R) tal que: ca 1 −1 −2 0 F (1, 0) = e F (0, 1) = . 2 0 1 1 3. Considere a aplica¸˜o R que associa a cada vetor u ∈ R2 o…

referência ortogonal, como: a = 4i – j ; b = - 3i +2 j ; c = -3j. Sendo os componentes dados em unidades arbitrárias. Determine o vetor, soma desses vetores. 3°) Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam. a) R3, (x, y, z) + (x´, y´, z´) = (x + x´, y + y´, z + z´) e k (x, y, z) = (0, 0, 0) b) {(x, 2x, 3x); x E R} com suas operações usuais c) R2 , (a, b) + (c, d) = (a, b) e α (a, b) = (αa,…

R. Defina o operador linear T : V −→ V pondo, para cada f ∈ V, T (f ) = ϕ, onde x ϕ(x) = 0 f (t)dt, x ∈ R. Determine o n´cleo e a imagem do operador T. u 2. Verifique se as transforma¸oes abaixo s˜o lineares: c˜ a (a) T : R3 → R; T (x, y, z) = x + 5y − z (b) T : R3 → R; T (x, y, z) = x2 + 5y − z, (c) T : Mn×1 (R) → Mn×1 (R); T (X) = AX + X, X ∈ Mn×1 (R) e A ∈ Mn (R). (d) T : Pn → Pn ; T (p) = p + p ; p ∈ Pn . (e) T : P2 → P2 ; T (p) = p + q; p ∈ P2 e q(t) = t2 + 1; t ∈ R. 3.…

1 Considere a regi˜o do plano definida por a R1 = (x, y ) ∈ R2 x2 ≤ y ≤ 1 − x2 . Para descrever R1 como uma regi˜o de “Tipo I”, tomaremos f (x) = x2 e g (x) = a 2 1 − x . Os gr´ficos dessas fun¸˜es se intersectam nos pontos do plano cujas abscissas a co √ √ 2 2 2 2 satisfazem a equa¸˜o x = 1 − x , i.e., x = ca ou x = − . Assim, temos que 2 2 √ √ 2 2 2 R1 = (x, y ) ∈ R − ≤x≤ e x2 ≤ y ≤ 1 − x2 . 2 2 Um esbo¸o da regi˜o R1 pode ser visto na Figura 1. c a…

vetor v = (a,b,c) de R3 em relação as bases: a) B = { (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) } b) C = { (1,1,1), (1,1,0),(1,0,0) } 3º) Determine as coordenadas do vetor v = 3t3 – 4t2 + 2t – 5 de P3(t) em relação a base S = { ( t – 1)3, ( t – 1)2, t – 1, 1 }. 2 4º) Determine o vetor coordenada de A   4 1 a ) S   1 1 , 1  1 1   1 , 0  1 b) B     0 0 , 0  0 0  1 , 0  3 de M2 em relação as bases:  7 …

– Espaços Vetoriais ( subespaços; combinação linear e espaço gerado) Transformações Lineares 1).Verifique quais dos seguintes subconjuntos W são subespaços do R3 . Justifique. a) b) c) d) e) 2) Verifique quais dos seguintes subconjuntos W são subespaços do M2(R). Justifique a) b) 3) Verifique quais dos seguintes vetores são combinações lineares de u = ( 0, 2, 2 ) e v = (1, 3, 1 ) a) ( 2, 2, 2…

: R2 −→ R3 tal que f (x, y) = (x2 , y, 0). (c) f : R3 −→ R2 tal que f (x, y, z) = (x + y + 1, z). (d) f : R2 −→ R2 tal que f (x, y) = (1, 1). (e) f : R3 −→ M2×2 (R) tal que f (x, y, z) = x x+y 0 z . 2. Considere f : R3 −→ R3 uma aplica¸c˜ao linear tal que f (1, 0, 0) = (1, 1, 1) e f (0, 1, 1) = (0, 0, 2). Determine: (a) f (3, 0, 0). (b) f (0, −1, −1). (c) f (0, 0, 0). (d) f (2, −4, −4). (e) f (a, b, b), com a, b ∈ R. 3. Considere f : E −→ E uma aplica¸c˜ao linear. Seja W um…

....................................................................................................................................... 11 1.6. Operações com Transformações Lineares ................................................................................ 13 1.6.1. 1.6.2. 1.6.3. 1.7. Composição entre Transformações Lineares ............................................................................ 14 1.7.1. 1.8. Exemplos…

0 b) 2x + 3y = 1 4x + 6y = 2   x+y =1 d) 3x − y = 2  x−y =0   2a + 2b + 3c = 1 a + 2b + c = 0 e)  a−b+c =0   x + 2y + z = 0 4x + 10y + 10z = 0 g)  x + 3y + 4z = 0 h)   2x + 2y + 2z + 3w = 3 x+y+z+w =1 j)  3x + 3y + 3z + 2w = 2  x + z + 2w = 0    2x + 3z + 3w = 0 k) y + 2w = 2    x + 2z + w = 0 2x + 3y + z = 0 x+y+z =0 c) 4x + 5y = 1 12x + 15y = 0   x + 2y + 3z = 1 4x + 7y + 7z = 3 f)  2x + 3y + z = 0 i) 2x1 + x2 + x3 + x4 = 1 2x1 + x2 − x3 + x4 = 3 …