Exercicio de algebra linear 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE ´ Lista de Exerc´ ıcios Algebra Linear 1 PROF. GERSON CRUZ ARAUJO Lista 3

˜ QUESTOES

1. Seja V = C0 (R) o espa¸o das fun¸˜es cont´ c co ınuas f : R −→ R. Defina o operador linear T : V −→ V pondo, para cada f ∈ V, T (f ) = ϕ, onde x ϕ(x) =
0

f (t)dt, x ∈ R.

Determine o n´cleo e a imagem do operador T. u 2. Verifique se as transforma¸oes abaixo s˜o lineares: c˜ a

(a) T : R3 → R; T (x, y, z) = x + 5y − z (b) T : R3 → R; T (x, y, z) = x2 + 5y − z, (c) T : Mn×1 (R) → Mn×1 (R); T (X) = AX + X, X ∈ Mn×1 (R) e A ∈ Mn (R). (d) T : Pn → Pn ; T (p) = p + p ; p ∈ Pn . (e) T : P2 → P2 ; T (p) = p + q; p ∈ P2 e q(t) = t2 + 1; t ∈ R. 3. Determinar bases para o n´cleo e para a imagem das transformac˜es lineares u o abaixo.

(a) T : R3 → R3 ; T (x, y, z) = (x + y, 2x + y, 3x + y), (x, y, z) ∈ R3 . (b) T : R2 → R; T (x, y) = y + 2x, (x, y) ∈ R2 . (c) T : P2 → P2 ; T (p) = p . (d) T : R3 → R3 ; T (x, y, z) = (z − x, z − 2x, z − 3x), (x, y, z) ∈ R3 . 4. Seja T : R3 → R3 um operador linear tal que T ((1, 0, 0)) = (2, 3, 1), T ((1, 1, 0)) = (5, 2, 7), e T ((1, 1, 1)) = (−2, 0, 7). 1. Encontre T ((x, y, z)) para (x, y, z) ∈ R3 . 2. T ´ sobrejetora? Justifique sua resposta. e 1

3. T ´ injetora? Justifique sua resposta. e 4. T ´ bijetora? Justifique sua resposta. e 5. Prove que se T, S : V → W s˜o transforma¸oes lineares e α ´ um n´mero real a c˜ e u ent˜o: T + S e αT s˜o transforma¸˜es lineares. a a co 6. Seja f : R2 → R um funcional linear. Sabendo que f (1, 1) = 3 e f (2, 3) = 1, calcule f (1, 0) e f (0, 1). 7. Prove que o n´cleo e a imagem de uma transforma¸ao linear T : V → W s˜o u c˜ a respectivamente subespa¸os de V e de W. c 8. Mostre que todo espa¸o vetorial de dimens˜o n sobre R ´ isomorfo a Rn . c a e 9. Sejam V e W espa¸os vetoriais e T : V −→ W uma transforma¸˜o linear. c ca Mostre que se {T (u1 ), ..., T (un )} ´ um conjunto LI de W, ent˜o {u1 , ..., un } ´ e a e um conjunto LI de V. 10. Determinar uma transforma¸˜o linear