Lista de Exercícios Álgebra Linear 1

´
UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAIBA
ˆ
CAMPUS - VII - GOVERNADOR ANTONIO
MARIZ
ˆ
CENTRO DE CIENCIAS
EXATAS E SOCIAIS APLICADAS
´
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMATICA
´
DISCIPLINA: Algebra
Linear
PROFESSOR: Vilmar Vaz

´
PERIODO:
5o

2a LISTA DE ATIVIDADES
√
1. Mostre que Q( 2) com as operac¸oes
˜ usuais e´ um espac¸o vetorial sobre Q.
2. ( ) Sejam K um corpo e K ⊆ K um subconjunto n˜ao vazio de K tal que com as operac¸oes
˜
de K e´ um corpo (neste caso, dizemos que K e´ um subcorpo de K). Mostre que K e´ um espac¸o vetorial sobre K . Mais geralmente, mostre que se V for um espac¸o vetorial sobre
K, ent˜ao ser´a um espac¸o vetorial sobre K .
3. ( ) Seja S = (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0 um plano do R3 passando pela origem. Mostre que S e´ um R-espac¸o vetorial.
4. (

) Descreva o R-espac¸o vetorial das soluc¸oes
˜ do seguinte sistema linear:

 x + y + 2z = 0



2x + 2y + 5z + 3w = 0 .



 4x + 4y + 10z + 3w = 0

5. (

) Suponha que estejam definidas as seguintes operac¸oes
˜ no conjunto V = (a, b) ∈ R2 : a, b > 0 :
• (a, b) ⊕ (c, d) = (ac, bd), ∀ (a, b), (c, d) ∈ V.
• α(a, b) = (aα , bα ), ∀ α ∈ R e ∀ (a, b) ∈ V.

Prove que V, munido dessas operac¸oes, e´ um R-espac¸o vetorial.
˜
6. Mostre que o conjunto dos numeros complexos C com as operac¸oes
´
˜ usuais e´ um espac¸o vetorial sobre R.

1

7. Seja V = R2 . Se u = (x1 , x2 ) ∈ V e v = (y1 , y2 ) ∈ V, ent˜ao V, com as operac¸oes
˜ de adic¸a˜ o u + v = (3x2 + 3y2 , −x1 − y1 ) e multiplicac¸a˜ o por escalar

au = (3ax2 , −ax1 ),

e´ um espac¸o vetorial sobre R?
8. Seja V = R2 . Se u = (x1 , x2 ) ∈ V e v = (y1 , y2 ) ∈ V, ent˜ao V, com as operac¸oes
˜ de adic¸a˜ o u + v = (x1 + y1 , x2 + y2 ) e multiplicac¸a˜ o por escalar

au = (a2 x1 , a2 x2 ),

e´ um espac¸o vetorial sobre R?
9. Seja V = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : xi = ia, i = 1, . . . , n, e a ∈ R}. Se u = (x1 , . . . , xn ) ∈ V e v =
(y1 , . . . , yn ) ∈ V, verifique se V com