Z 2 Em R3

quais dos seguintes subconjuntos W são subespaços do R3 . Justifique. a) b) c) d) e) 2) Verifique quais dos seguintes subconjuntos W são subespaços do M2(R). Justifique a) b) 3) Verifique quais dos seguintes vetores são combinações lineares de u = ( 0, 2, 2 ) e v = (1, 3, 1 ) a) ( 2, 2, 2 ); b) ( 0, 4, 5 ); c) ( 2, 0, 4 ); d) ( 2, 0, 1 ) 4) Determine a dimensão dos…

escada de A 1  a) A =  2 1  1  b) A =  2 1  2 0  3 1 , X = 1 0   x  2      y  e B=  4  z 1      x 1      y  e B=  4  z  2     1 0  3 1 , X = 2 0  2. Analise cada um dos sistemas abaixo, onde k é um número real. a) 2y  z 3   2  2x  y  4 y  kz  k  2y  z 3   b)  2 x  y 2  4 y  kz  k  3. Encontre todas as soluções do sistema de cada um dos sistemas abaixo: 2 y  4 z  2w  8  a) …

Considere um sistema ortogonal de coordenadas para R3 e nele, represente os seguintes pontos: A = (0, 1, 1), B = (0, −1, −1), C = (1, 2, −2) e D = (−1, −2, −2). Solu¸ao: c˜ Figure 1: Representa¸ao dos pontos A, B e C no plano R3 feita manualmente c˜ Figure 2: Representa¸ao dos pontos A, B e C no plano R3 feita em software c˜ 1 2. (0,2 pts) Considere, em rela¸ao a um sistema ortogonal de coordenadas para R3 , os pontos c˜ A = (−1, 0, 2), B = (1, 1, 1) e C = (1, 0, 1).…

resolu¸˜o de sistemas de equa¸oes lineares ca c˜ 1. Considere o seguinte sistema de equa¸˜es lineares co x + 2y = 2 . 2x + y = −2 (a) Verifique quais dos pares (2, 0) , (1, 3) , (−2, 2) , (4, −1) s˜o solu¸˜o da primeira equa¸ao. a ca c˜ (b) Verifique quais dos pares (−2, 2) , (1, −4) , (0, −2) , (0, 5) s˜o solu¸˜o da segunda equa¸ao. a ca c˜ (c) Indique, justificando, uma solu¸ao do sistema dado. c˜ 2. Resolva os seguintes sistemas pelo m´todo de substitui¸˜o. e ca (a) y = 2x − 3 ; x + 2y…

Lista 2 ˜ TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES 1. Seja T : V → W uma fun¸c˜ao. Mostre que: a) Se T ´e uma transforma¸c˜ao linear, ent˜ao T (0) = 0. b) Se T (0) = 0, ent˜ ao T n˜ao ´e uma transforma¸c˜ao linear. 2. Determine quais das seguintes fun¸c˜oes s˜ao aplica¸c˜oes lineares: a) f : R2 → R2 (x, y) → (x + y, x − y) b) g : R2 → R (x, y) → xy c) h : M2 → R a b a b −→ det c d c d d) k : P2 → P3 ax2 + bx + c −→ ax3 + bx2 + cx e) M : R3 → R2   1 2 (x, y, z) −→ (x, y, z) 0 −1

instruções ordenadas de forma lógica para a resolução de uma determinada tarefa ou problema. ALGORITMO NÃO COMPUTACIONAL Abaixo é apresentado um Algoritmo não computacional cujo objetivo é usar um telefone público. Início 1. Tirar o fone do gancho; 2. Ouvir o sinal de linha; 3. Introduzir o cartão; 4. Teclar o número desejado; 5. Se der o sinal de chamar 5.1 Conversar; 5.2 Desligar; 5.3 Retirar o cartão; 6. Senão 6.1 Repetir; Fim. DESVIO Programação Parametrizada Talvez este seja o…

Lista 2 1) Dentre as transformações T : R 2 → R 2 , definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. a )T ( x, y ) = ( x − y, 2 x + 3 y ) b)T ( x, y ) = ( y, x ) d )T ( x, y ) = ( x − 2 y, 2 x ) e)T ( x, y ) = ( 2 x − 1, x + y ) c)T ( x, y ) = ( x, y 2 ) f )T ( x, y ) = ( −3 y, 2 x ) 2) Dentre as transformações T : R 2 → R3 , definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. a )T ( x, y ) = ( x − y, 2 x, −3 y ) b)T ( x, y ) = ( y, x, x − y ) d )T ( x, y )…

ATIVIDADES √ 1. Mostre que Q( 2) com as operac¸oes ˜ usuais e´ um espac¸o vetorial sobre Q. 2. ( ) Sejam K um corpo e K ⊆ K um subconjunto n˜ao vazio de K tal que com as operac¸oes ˜ de K e´ um corpo (neste caso, dizemos que K e´ um subcorpo de K). Mostre que K e´ um espac¸o vetorial sobre K . Mais geralmente, mostre que se V for um espac¸o vetorial sobre K, ent˜ao ser´a um espac¸o vetorial sobre K . 3. ( ) Seja S = (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0 um plano do R3 passando pela…

simétrica. v+(-v)=-v+v=0 0.5- Subtração de dois vetores. Dados dois vetores u e v, temos: u–v=u+(-v) Obs: – v é o vetor oposto de v. Ex: v = ( 2 , -3 ) então –v = ( -2 , 3 ) Exercícios básicos. 1) Dado um vetor v = ( 1 , 3 ), calcule: a) 2v b) 3v c) 1 v 2 d) – v e) –3 v f) 2 v 5 2) Dados os vetores u ( 2 , 1 ), v ( 0 , 2 ) e w ( 4 , - 5 ), calcule: a) u + v – w b) 3u – 2v c) 2w – v Unidade I – Espaços vetoriais 1.1- Definição. Um espaço…

do tipo r = f (θ ) . COORDENADAS CARTESIANAS ORTOGONAIS NO R3 Um sistema de eixos ortogonais no espaço é constituído de três retas orientadas x, y e z, perpendiculares entre si. A reta orientada x é denominada eixo das abscissas; A reta orientada y é denominada eixo das ordenadas; A reta orientada z é denominada eixo das cotas. Assim, cada ponto P do espaço será representado por uma única tripla ordenada (x, y, z) , onde o primeiro elemento x recebe o nome de abscissa…