Algebra Aplicada

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA
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CENTRO DE CIENCIAS
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
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ALGEBRA APLICADA I

Lista 2
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TRANSFORMAC
¸ OES
LINEARES
1. Seja T : V → W uma fun¸c˜ao. Mostre que:
a) Se T ´e uma transforma¸c˜ao linear, ent˜ao T (0) = 0.
b) Se T (0) = 0, ent˜ ao T n˜ao ´e uma transforma¸c˜ao linear.
2. Determine quais das seguintes fun¸c˜oes s˜ao aplica¸c˜oes lineares:
a) f : R2 → R2
(x, y) → (x + y, x − y)
b) g : R2 → R
(x, y) → xy
c) h : M2 → R a b a b
−→ det c d c d
d) k : P2 → P3 ax2 + bx + c −→ ax3 + bx2 + cx
e) M : R3 → R2


1 2
(x, y, z) −→ (x, y, z) 0 −1
1 1
f) N : R → R x→|x| 3. a) Ache a transforma¸c˜ao linear T : R3 → R2 tal que T (1, 0, 0) =
(2, 0), T (0, 1, 0) = (1, 1) e T (0, 0, 1) = (0, −1).
b) Encontre v de R3 tal que T (v) = (3, 2).

1

4. a) Qual ´e a transforma¸c˜ ao linear T : R2 → R3 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0, −2) = (0, 1, 0)?
b) Ache T (1, 0) e T (1, 0).
c) Qual ´e a transforma¸c˜ao linear S : R3 → R2 tal que S(3, 2, 1) =
(1, 1), S(0, 1, 0) = (0, −2) e S(0, 0, 1) = (0, 0)?
d) Ache a transforma¸c˜ ao linear P : R2 → R2 tal que P = S◦T .
5. a) Ache a transforma¸c˜ ao linear T do plano no plano que ´e uma reflex˜ao em torno da reta x = y.
b) Escreva-a em forma matricial.
6. Dados T : U → V linear e injetora e u1 , u2 , . . . , uk , vetores linearmente independentes em U, mostre que {T (u1 ), T (u2 ), . . . , T (uk )} s˜ao linearmente independentes em V.
7. Sejam α = {(1, −1), (0, 2)} e β = {(1, 0, −1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de R2 e R3 respectivamente e

1 0
[T ]αβ = 1 1 
0 −1


a) Ache T.
b) Se S(x, y) = (2y, x − y, x), ache [S]αβ .


1 0
c) Ache uma base γ de R3 tal que [T ]αβ = 0 0.
0 1
8. Mostre que se T : V → W ´e uma transforma¸c˜ao linear,
a) Im(T ) ´e um subespa¸co de W.
b) Ker(T ) ´e um subespa¸co de V.
9. Sejam S e T aplica¸c˜ oes lineares de V em W. Definimos S+T como
(S+T)v = S(v)+T(v) para todo v ∈ V e definimos αS como