Algebra linear

Univ. de Tr´s-os-Montes e Alto Douro a Escola de Ciˆncias e Tecnologia e Dep. de Matem´tica a Tecnologias de Informa¸˜o e Comunica¸˜o ca ca ´ Algebra Linear 2010 – 2011 Primeiro semestre
Caderno de problemas para as aulas te´rico-pr´ticas o a

Elza Amaral Am´rico Bento e

Setembro, 2010

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UTAD

TIC

1.o semestre, 2010–2011

´ Algebra Linear

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Revis˜o sobre os m´todos de substitui¸˜o e adi¸˜o ordenada a e ca ca na resolu¸˜o de sistemas de equa¸oes lineares ca c˜
1. Considere o seguinte sistema de equa¸˜es lineares co x + 2y = 2 . 2x + y = −2 (a) Verifique quais dos pares (2, 0) , (1, 3) , (−2, 2) , (4, −1) s˜o solu¸˜o da primeira equa¸ao. a ca c˜ (b) Verifique quais dos pares (−2, 2) , (1, −4) , (0, −2) , (0, 5) s˜o solu¸˜o da segunda equa¸ao. a ca c˜ (c) Indique, justificando, uma solu¸ao do sistema dado. c˜ 2. Resolva os seguintes sistemas pelo m´todo de substitui¸˜o. e ca (a) y = 2x − 3 ; x + 2y = 14 (b) y =x−4 . x + 3y = 12

3. Considere o sistema de equa¸oes lineares nas inc´gnitas x e y c˜ o 2x − 3y = −1 . ax − 3y = b Indique para que valores de a e b o sistema ´: poss´ e determinado; poss´ e indeterminado; e e ıvel ıvel imposs´ (fa¸a a interpreta¸ao geom´trica do sistema nos diferentes casos). ıvel c c˜ e 4. Usando o m´todo misto (isto ´: adi¸ao ordenada at´ encontrar um sistema triangular e depois e e c˜ e substitui¸˜o), resolva cada um dos sistemas a seguir explicitados: ca (a) 2x + 3y − z = 0 −x + 5y + 2z = 0 (b) 2x − 4y − 2z = 6 3x + y + 6z = 6 (c) x + 2y − z = 3 2x + 3y + z = 1   x − y + 2z = 3 x + 2y − z = −3  2y − 2z = 1   w − x − y + 2z = 1 2w − 2x − y + 3z = 3 (i)  −w + x − y = −3   x1 + 4x4 = 1   x1 + 2x2 + 4x3 = 3 (m)  2x1 + 2x2 + x4 = 1   x1 + 3x3 = 2

  x+y+z =3 2x + 3y + z = 5 (d)  x − y − 2z = −5   2x + 4y + 6z = 8 3x + 9y + 6z = 12 (g)  −x + y − z = 1

  2x + y − z = 3 x + 5z = 1 (e)  −x + 3y − 2z = 0

(f )

  −x1 + 3x2 − 2x3 + 4x4 = 0 2x1 − 6x2 + x3 − 2x4 = −3 (h)  x1 − 3x2 + 4x3 −