Elimina O Gaussiana Exercicios
1o Semestre 2006/2007
João Ferreira Alves
Sistemas de Equações Lineares, Matrizes e Determinantes
Exercício 1 Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares:
a)
x + 2y = 1 x + 3y = 0
b)
2x + 3y = 1
4x + 6y = 2
x+y =1
d) 3x − y = 2
x−y =0
2a + 2b + 3c = 1 a + 2b + c = 0
e)
a−b+c =0
x + 2y + z = 0
4x + 10y + 10z = 0
g)
x + 3y + 4z = 0
h)
2x + 2y + 2z + 3w = 3 x+y+z+w =1
j)
3x + 3y + 3z + 2w = 2
x + z + 2w = 0
2x + 3z + 3w = 0
k)
y + 2w = 2
x + 2z + w = 0
2x + 3y + z = 0 x+y+z =0
c)
4x + 5y = 1
12x + 15y = 0
x + 2y + 3z = 1
4x + 7y + 7z = 3
f)
2x + 3y + z = 0
i)
2x1 + x2 + x3 + x4 = 1
2x1 + x2 − x3 + x4 = 3
y1 + y3 + 2y4 = 0
y1 + 2y2 + y3 + y4 = 1
l)
y + 2y4 = 8
2 y1 + 2y3 + y4 = 0
Exercício 2 Discuta, em função dos parâmetros α e β, os seguintes sistemas de equações lineares:
x + 4y + 3z = 10
2x + y + z = −6β
2x + 7y − 2z = 10 b) αx + 3y + 2z = 2β .
a)
x + 5y + αz = β
2x + y + (α + 1) z = 4
Exercício 3 Considere o sistema de equações lineares
x + y + 3z = b1
2x + 2y − z = b2 ,
4x + 4y + 5z = b3
e calcule os vectores (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 para os quais o sistema é possível.
1
Exercício 4 Determine um sistema de equações lineares cujo conjunto de soluções seja:
a)
b)
c)
d)
e)
S = {(1 + t, 1 − t) : t ∈ R};
S = {(t, 1 − 2t, 1) : t ∈ R};
S = {(3t, 2t, t) : s, t ∈ R};
S = {(3t, 2s, t − 1) : s, t ∈ R};
S = {(1 − t, 2s, t) : s, t ∈ R};
Exercício 5 Sempre que possível calcule:
a) 2
1 0
2 1
+3
0 2
6 1
2
1 0 2 3
1
d)
1 2
g) 3 1
0 3
1 0 1
2 1 0
b)
1 2
e)
1 0
0 0
h)
0
2
c)
1 0
0 1
0 1
1 0
f)
0 1
1 0
+
2
3
1
1 0
0 0
30 4
1 0 1
1 0 0
0 1 0 i) 0 1 0 2 10
2 20
0 0 1
1 0 1
1 2 0
3 1 1
0 0 1
30 4
1 0 0
30 4
1 0 0
30 4
j) 0 1 0 2 10 k) 0 1 0 2 10 l) 0 1 0 2 10
1 0 0
2 20
0 0 3
2 20
2 0 1
2 20
Exercício 6 Mostre que a