Aula Espaos Vetoriais

17/11/2014

Espaços vetoriais _ Aula 1
Ana Cristina Silva Matos

Definição do Espaço vetorial.

 Um conjunto não vazio V
 Uma operação de adição definida nesse conjunto
 Um produto de um número real por um elemento desse conjunto.
Obedece as propriedades do fechamento.

Fechado para a soma u, vV, u + v  V
 Fechado para o produto por um escalar
uV, u  V

,

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Propriedades da soma e do produto por um escalar.
Soma:

 Comutativa:

u, vV, u + v = v + u
 Associativa:
u, v, wV, (u + v) + w = u + (v + w)
 Elemento Neutro:
uV, u + 0 = u
Simétricos:
uV, u + (-u) = 0

Produto de um escalar por um elemento do conjunto:

Distributiva:
u, vV, ,(u + v )= u + v

 Distributiva:
uV, ,  ,( +  ) u = u +  u

 “Associativa”
uV, ,  ,(  ) u =  ( u)

Elemento neutro
uV, 1u = u

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Subespaço Vetorial

Seja V um espaço vetorial. Um subconjunto não vazio W de V é um subespaço vetorial de
V se e só se

u , v  W , u  v  W
  , u  W , u  W ou seja: W é fechado para a soma e para o produto por um escalar.

Exemplo de subespaço vetorial



W   x, y , z    3 : x  y e 2 x  z



Exercícios: verificar se um subconjunto W de um espaço vetorial é um subespaço vetorial V.

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Espaços vetoriais _ Aula 2 e 3
Combinações Lineares:
Subespaço Gerado:

Dependência Lineares:
Equações caracteristica:

Ana Cristina Silva Matos

Combinações Lineares:

Exemplo:
A) O vetor v=(2,7) ϵ R2 é uma combinação linear dos vetores v1=(1,0) e v2 = (2,9) de R2?

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C) Considere os vetores v1=(1,1,0) e v2=(0,1,1) de R3.
–Verifique se o vetor v=(2,-1,-3) é uma combinação

linear de v1 e v2.
–Agora, verifique se o vetor w=(0,2,1) é uma combinação linear de v1 e v2.

– Que condições devem ser satisfeitas para que um vetor (x,y,z) ϵ R3 possa ser escrito como combinação

linear de v1 e v2?

Vetores linearmente dependentes

Definição: Dois ou mais vetores são Lineramente dependentes se, e somente