Calculo 2

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LISTA 1  CÁLCULO 2  02/09/2012  PROF. LUÍS ANTÔNIO.
Questão 1.

(a) Determine a equação da reta que passa pelos pontos (3, 5) e (−3, −1).
(b) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e que seja paralela ao vetor v = (−1, 1).
(c) Determine a equação vetorial da reta que que passa pelo ponto (1, −1) e é perpendicular a reta 2x + y = 1.
(d) Determine a equação do plano que passa pelo ponto (1, 1, 1) e que seja perpendicular a direção do vetor n = (2, 1, 3).
(e) Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (0, 1, −1) e seja perpendicular ao plano x + 2y − z = 3.
Questão 2.

Sejam u = (a1 , b1 , c1 ) e v = (a2 , b2 , c2 ) dois vetores de R3 . Deni-

mos o produto vetorial de u por v que se indica por u ∧ v por

i u∧v =

j

k

a1 b 1 c 1

.
= (b1 c2 − b2 c1 )i + (a2 c1 − a1 c2 )j + (a1 b2 − a2 b1 )k

a2 b 2 c 2 onde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1). Verique que
(a) u ∧ v = −v ∧ u.
(b) u ∧ v é simultanemente ortogonal a u e a v .
(c) u ∧ (v + w) = u ∧ v + u ∧ w.
(d) (u + v ) ∧ w = u ∧ w + v ∧ w.
Questão 3.

Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto

(1, 2, −1) e que seja perpendicular a direção dos vetores u = (1, 1, 1) e v =
(1, −2, 1).
Questão 4.

denimos:

Sejam x = (x1 , x2 , x3 ) e y = (y1 , y2 , y3 ) vetores de R3 então

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(i) O produto escalar de x por y pondo

x, y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .
(ii) A norma de x por

x=

x2 + x2 + x2
3
2
1

x, x =

(iii) A distância Euclideana de x e y por

d(x, y ) = x − y .
Se x, x1 , x2 e y, y1 , y2 são vetores em R3 e a ∈ R, então prove que valem as seguintes propriedades:
(i) Simétrica. x, y = y , x ;
(ii) Bilinearidade.

ax, y = x, ay = a x, y x1 + x2 , y = x1 , y + x2 , y x, y1 + y2 = x, y1 + x, y2 ;
(iii) Positividade. x, x ≥ 0 e x, x = 0 se, e somente se, x = 0;
(iv)

x, x ;

x=

(v) x, y =
Questão 5.

x+y

2−

x−y

2

4

.

Seja x = (x1 , x2 , x3 ) um ponto em R3