Cálculo 2

CAPÍTULO 5 – APLICAÇÕES DA DERIVADA

5.1 – Introdução

Neste tópico utilizaremos derivadas para obter detalhes importantes sobre valores de quando varia em um intervalo. Estes dados nos permitirão traçar o gráfico de uma função e descrever com precisão onde ela cresce e decresce, algo que, em geral, não pode ser obtido com os métodos do pré-cálculo. O mais importante é a determinação dos pontos mais altos e mais baixos do gráfico, uma vez que estes pontos correspondem aos maiores e menores valores da função. A determinação destes valores extremos desempenha um papel importante em aplicações que envolvem tempo, temperatura, volume, pressão, consumo de gasolina, poluição do ar, lucros em negócios, despesas de empresas, e, de modo geral, qualquer quantidade que possa que possa ser representada por uma função.

5.2 – Extremos de Funções

Suponhamos que o gráfico a seguir tenha sido feito através de um instrumento que mede uma quantidade física, como por exemplo, a quantidade de chuva, em que o eixo-x representa o tempo e o eixo-y esta quantidade física. Assim,

De acordo com o gráfico, podemos tirar a seguinte definição:

Definição 1: Seja uma função definida em um intervalo , e sejam . Então:
(i) é crescente em se quando ;
(ii) é decrescente em se quando ;
(iii) é constante em se para todos e ;

A próxima definição nos dá a terminologia que será utilizada para os maiores e menores valores de uma função:

Definição 2: Seja uma função definida em um intervalo , e sejam . Então:
(i) é o valor máximo de em se ;
(ii) é o valor mínimo de em se ;

Os valores máximos e mínimos são muitas vezes chamados de valores extremos, ou simplesmente extremos, de . Uma função pode tomar seu valor máximo e mínimo várias vezes em um intervalo . Se é uma função constante, então é tanto um valor máximo quanto um valor mínimo de para todo número real .

Se é o domínio de , então os valores máximo e mínimo de em , se existem,