Gray

Cálculo Avançado: Teoremas de Green, Gauss e Stokes
(tópicos teóricos e aplicações físicas)
Prof. Lúcio Fassarella

1

Teorema de Green

Problem 1 Prove o Teorema de Green no disco, por veri…cação direta.

~
Problem 2 Seja F : U ! R2 ; U

R2 aberto, campo vetorial continuamente diferenciável,
~
; F (x; y) = M (x; y)~ + N (x; y) ~ i j

De…na
@M
@N
~
r F :=
+
; r
@x
@y

@N
~
F :=
@x

Considere uma região aberta R U com fronteira regular por partes C tangente e normal seccionalmente contínuos à C por, respectivamente,

@M
@y
U . Denote os campos de vetores unitários

~ : C ! R2 e ~ : C ! R2
Então:
1. Prove que o Teorema de Green é equivalente à seguinte identidade (onde o primeiro membro de…ne a “circulação
~
do campo F ao longo da curva C”
):
I
ZZ
~
~
F ~ ds = r F dA
C

R

2. Prove que o Teorema de Green é equivalente à seguinte identidade (onde o primeiro membro de…ne o “‡uxo
~
normal do campo F através da curva C”
):
ZZ
I
~ n
~
F ~ ds = r F dA
R

C

Problem 3 Sejam f; g : U ! R, U
R2 aberto, campos escalares continuamente diferenciáveis. Prove que para toda curva regular por partes C U cuja região interior está contida em U vale:1
I
I f rg d~ = s grf d~ s C

C

Problem 4 Determine a expressão para o centróide da região plana limitada por uma curva C e seccionalmente regular.
Problem 5 Calcule a seguinte integral

I

y 3 dx

x3 dy

@A

onde @A é a fronteira positivamente orientada do anel
A = (x; y) 2 R2 ; 1

x2 + y 2

4

Problem 6 Calcule a área da região limitada pela curva de…nida em coordenadas cartesianas: x2 y2
+ 2 =1 a2 b
1 Note

(a; b > 0)

que essa identidade constitui-se num análogo à fórmula de integração por partes.

1

R2 simples, fechada

Problem 7 Calcule a área da região limitada pela curva de…nida em coordenadas polares: r = a (cos ( ) + 1)

(a > 0)

Problem 8 Determine a curva plana fechada C sobre a qual a seguinte integral