Z 2 Em R3

, y ′) = 2xx′ − xy ′ − x′ y + 2yy ′ é um produto interno. 2. Seja β = {v1 , ..., vn } ⊂ V uma base ortonormal do espaço vetorial de V. Mostre que, n para v, w ∈ V arbitrários, tem-se v, w = v, vi w, vi . i=1 3. Mostre que se u e v são vetores de um espaço vetorial euclidiano, então: (i) u ⊥ v =⇒ u + v 2 = u 2 + v 2. (Interprete geometricamente esse fato). (ii) (u + v) ⊥ (u − v) =⇒ u = v . (iii) u + v 2 + u−v 2 = 2( u 2 + v 2 ). 4. Considere o seguinte produto interno no…

. . . . . 2 16 4 2 Consultar exames em: http://www.math.ist.utl.pt/∼ppinto/AL/exames.html 22 1 Alguns problemas resolvidos 1.1 O sistema linear  x+z =3       x + 2y + 2z = 6       3y + 3z = 6 na forma matricial ´e Consideremos ent˜ao a  1 0   1 2 0 3      1 0 1 x 3       1 2 2  y  =  6 . 0 3 3 z 6 matriz aumentada e o consequente m´etodo de elimina¸c˜ ao     1 0 1 | 3 1 0 1 1 | 3     2 | 6  −→  0 2 1 | 3  3−→  0 2 1 −L1 +L2 − 2 L2 +L3 0 3

possua encontre-a usando o Processo de ı Elimina¸ao de Gauss. c˜  1 0 0  −2 1 0 (a) A =   1 −2 1 0 1 −2  0 0   0  1   −2 −1 0 2  3 1 −2 −2   (b) B =   −4 −1 2 3  3 1 −1 −2 2. Defina em R2 uma nova adi¸ao c˜ espa¸o vetorial. c e um novo produto por escalar tal que (R2 , , ) seja um 3. Determine o subespa¸o de R3 gerado pelos vetores (1, 2, 1) , (2, 0, 3) e (−1, 6, −3) . c 4. Considere espa¸o vectorial das fun¸˜es…

que j) O conjunto dos vetores (x, y, z) em k) O conjunto dos vetores (x, y, z) em l) O conjunto dos vetores (x, y, z) em m) O conjunto dos vetores em R3 R3 R3 R3 tais que z = 0 tais que x = 0 ou y = 0 que s˜o m´ltiplos de (1, 2, 3) a u 1 0 f(x)dx 1 0 f(x)dx =0 ≥0 que s˜o combina¸˜es dos vetores u e v a co n) O conjunto das matrizes 2 × 2 cujo tra¸o ´ zero c e o) O conjunto das matrizes 2 × 2 cujo determinante ´ zero e p) O conjunto das matrizes 2 × 2 que s˜o sim´tricas,i.e, A =…

Bol. Soc. Paran. Mat. (3s.) v. 22 2 (2004): 127–144. c SPM –ISNN-00378712 O Teorema de Banach- Tarski Luciano Panek abstract: We will present in this work the curious and provocative BanachTarski Theorem: subsets of the three-dimensional Euclidean space with non-empty interior is part congruent, that is, one subset can be rearranged by isometries of a finite number of parts of the other. The proof, here (a free translation from Karl Stromberg’s text, American Mathematical Monthly, 1979)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 6 8 10 11 14 16 16 17 20 21 24 24 25 2 ESPAÇOS VETORIAIS 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Intersecção de dois Subespaços Vetoriais . . . . . . 2.4 Combinação Linear . . . . . . . . . . . . . .

Primeira Avalia¸c˜ao de Algebra Linear 14 de abril de 2015 NOME: Justifique todas as respostas!  3 1. Seja A =  5 1 −1 5 2  2 −2 . Determine: 3 (a) (0,8 pt) det A usando expans˜ao de cofatores pela segunda coluna. (b) (1 pt) A−1 .   3x − y + 2z = 1 5x + 5y − 2z = 3 (c) (0,7 pt) Utilizando o resultado da letra (b), determine a solu¸c˜ao do sistema  x + 2y + 3z = −2 2. Uma matriz A ´e chamada de sim´etrica se AT = A, de anti-sim´etrica se AT = −A e de idempotente se A2 = A.…

Fun¸˜es Vetoriais co 2 1.1 Fun¸˜o Vetorial de Vari´vel Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca a 2 1.1.1 Continuidade e Derivabilidade de uma Curva Parametrizada . . 7 1.1.2 Propriedades da derivada de curvas parametrizadas . . . . . . . 8 1.2 Fun¸˜es Vetoriais de Varias Vari´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co a 9 1.3 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Parametriza¸˜o ca 13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 6 8 10 11 14 16 16 17 20 21 24 24 25 2 ESPAÇOS VETORIAIS 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Intersecção de dois Subespaços Vetoriais . . . . . . 2.4 Combinação Linear . . . . . . . . . . . . . .

Durrant (1) Dado que V = {(x, y)/ x, y > 0} com as operações de adição e multiplicação por um escalar definidas pelas equações (1) e (2), verifique que V é um espaço vetorial. (x1, y1)  (x2, y2) = (x1 x x2, y1 x y2) (1) ⊙(x, y) = (x, y) (2) (2) Mostre que o seguinte subconjunto de R4 é subespaço: W = {(x, y, z, t)  R4 / x + y = 0 e z – t = 0 } (3) Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços de M(2,2). Em caso afirmativo, exiba geradores. (a) V…