O teorema de banach- tarski

Bol. Soc. Paran. Mat. (3s.) v. 22 2 (2004): 127–144. c SPM –ISNN-00378712

O Teorema de Banach- Tarski
Luciano Panek

abstract:

We will present in this work the curious and provocative BanachTarski Theorem: subsets of the three-dimensional Euclidean space with non-empty interior is part congruent, that is, one subset can be rearranged by isometries of a finite number of parts of the other. The proof, here (a free translation from Karl Stromberg’s text, American Mathematical Monthly, 1979), is elegant and of elementary level, therefore accessible to the undergraduate student in Mathematics.

Contents 1 Introdução 2 A prova do Teorema de Banach-Tarski 2.1 Espaços Normados . . . . . . . . . . . 2.2 Isometrias do Espaço Euclidiano . . . 2.3 Grupo de Rotações . . . . . . . . . . . 2.4 Partições de Esferas . . . . . . . . . . 2.5 Congruência de Conjuntos . . . . . . . 2.6 O paradoxo de Banach-Tarski . . . . . 3 Considerações Finais 1. Introdução Nestas notas apresentaremos o “paradoxal” teorema elaborado por Stefan Banach e Alfred Tarski1 em 1924 ( [4]). Os resultados necessários para a prova do teorema são de autoria de Karl Stromberg (1979, [12]). Estes resultados foram motivados pelo trabalho de A. M. Bruckner e Jack Ceder onde são discutidos os fenômenos de conjuntos não-mensuráveis ( [3]). Acreditamos que a prova oferecida por Karl Stromberg é acessível aos estudantes de graduação que já têm conhecimento prévio em teoria dos grupos (nada muito além da definição), noções de conjuntos abertos, noções em teoria das matrizes (multiplicação, determinante),
2000 Mathematics Subject Classification: 04-01, 04A20 Notas Históricas. Stefan Banach, juntamente com Norbert Wiener, deram contribuições importantes no começo da década de 1920-30 à origem da teoria moderna dos espaços vetoriais. Banach introduziu o conceito de espaços normados em 1923, sendo os espaços normados completos chamados de espaços de Banach. Já o lógico Alfred Tarski migrou da Alemanhã para os