Algebra Linear - P1 , P2 , P3

Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Ciˆencias Agr´arias
´
Primeira Avalia¸c˜ao de Algebra
Linear
14 de abril de 2015
NOME:

Justifique todas as respostas!


3
1. Seja A =  5
1

−1
5
2


2
−2 . Determine:
3

(a) (0,8 pt) det A usando expans˜ao de cofatores pela segunda coluna.
(b) (1 pt) A−1 .

 3x − y + 2z = 1
5x + 5y − 2z = 3
(c) (0,7 pt) Utilizando o resultado da letra (b), determine a solu¸c˜ao do sistema

x + 2y + 3z = −2

2. Uma matriz A ´e chamada de sim´etrica se AT = A, de anti-sim´etrica se AT = −A e de idempotente se
A2 = A.
(a) (1 pt) Dˆe exemplo de duas matrizes 2x2 n˜ao nulas e diferentes, A e B sim´etricas, onde o produto
A.B tamb´em ´e sim´etrica.


4+a x b3 + 8
(b) (1 pt) Se M =  a b c y, z.

 y  ´e uma matriz anti-sim´etrica, determine os valores de x, z 2c − 8


2
(c) (1 pt) Determine os valores de x, y, z tais que a matriz E =  y
1

−2
3
z

 x 4  seja idempotente.
−3

(d) (1 pt) Dˆe exemplo de trˆes matrizes 2x2 n˜ao nulas, A, B e C tais que A.B = A.C e B = C.
(e) (1 pt) Sejam A, B e C matrizes reais de ordem 4, satisfazendo a seguinte rela¸c˜ao: A.B = C−1 e B = -2A. Se o determinante de C vale 4 e o determinante de A ´e negativo, qual ´e o valor do determinante da matriz B?


−x + 3y = a



2x − y = b
3. Considere o seguinte sistema de equa¸c˜oes lineares: S =
−2x
+y=c



3x + y = d

(a) (1,5 pts) Estabele¸ca as condi¸c˜oes sobre as constantes a, b, c e d para que o sistema linear S tenha solu¸c˜ao. Justifique usando o conceito de posto.

(b) (0,5 pt) Existem valores para a, b, c e d para os quais S tenha infinitas solu¸c˜oes? Justifique usando o conceito de posto e n´ umero de inc´ognitas.
(c) (0,5 pt) Fazendo a = 2, b = 1, c = −1 e d = 4, determine o conjunto solu¸c˜ao de S.

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Centro de Ciˆencias Agr´arias
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Segunda Avalia¸c˜ao de Algebra
Linear
02 de junho de 2015
NOME:

Justifique todas as respostas!
1. Responda se os subconjuntos abaixo s˜ ao subespa¸cos vetoriais