Z 2 Em R3

B002 (Função – Limite) 2 FU 1 I ÇÕES COM VÁRIAS VARIÁVEIS TRODUÇÃO Esta nota de aula tem como objetivo familiarizar o aluno no entendimento das funções reais de variáveis reais. Tais funções são importantes, pois aprecem em muitos problemas práticos como os listados a seguir. a) Um cilindro circular reto, fechado nas extremidades, com base de raio r a altura h, tem a área da superfície S dada por: S = 2πrh + 2πr 2 Cada par de valores (r,h), corresponde um…

j) O conjunto dos vetores (x, y, z) em R3 tais que z = 0 k) O conjunto dos vetores (x, y, z) em R3 tais que x = 0 ou y = 0 l) O conjunto dos vetores (x, y, z) em R3 que s˜o m´ltiplos de (1, 2, 3) a u m) O conjunto dos vetores em R3 que s˜o combina¸˜es dos vetores u e v a co n) O conjunto das matrizes 2 × 2 cujo tra¸o ´ zero ce o) O conjunto das matrizes 2 × 2 cujo determinante ´ zero e p) O conjunto das matrizes 2 × 2 que s˜o sim´tricas,i.e, A = At a

abaixo é linear: a) F : M 2 R   M 2 R  dada por F  X   MX  XM onde M   1 2  . 0 1   0 1 b) T : P3 R   R 2 dada por T  p     p(t ) dt ,  p(t ) dt  . 0  1  2 2 c) T : R  P2 R  dada por T a, b  ax  bx  (a  b) . 03) Qual é a transformação linear T : R 2  R 3 tal que T (1,4)  (1,3,0) e T (5,1)  (3,2,1) ? 04) Considerando o exercício anterior, encontre v  R 2 tal que T (v)  (1,0,4) . 05) Sejam   1,2, 0,3 uma base de R 2 ,   0,1,1,…

é R. Exemplo: 1. f : R2 → R, (x, y) → 2x + 3y D = R, é uma função real de duas variáveis (é também uma função linear). 2. f : R3 → R, (x, y, z) → x2 + 3y + z D = R3 , é uma função real de três variáveis (é também uma função polinomial) 2x + y2 + z2 D = R3 −{(0, 0, 0)} ⊂ R3 é uma função real de três variáveis (é também uma função 3. f : R3 − {(0, 0, 0)} → R, (x, y, z) → x2 racional, isto é, quociente de duas funções polinomiais). Usamos, também, a notação ( mais…

é R. Exemplo: 1. f : R2 → R, (x, y) → 2x + 3y D = R, é uma função real de duas variáveis (é também uma função linear). 2. f : R3 → R, (x, y, z) → x2 + 3y + z D = R3 , é uma função real de três variáveis (é também uma função polinomial) 2x + y2 + z2 D = R3 −{(0, 0, 0)} ⊂ R3 é uma função real de três variáveis (é também uma função 3. f : R3 − {(0, 0, 0)} → R, (x, y, z) → x2 racional, isto é, quociente de duas funções polinomiais). Usamos, também, a notação ( mais…

107 108 109 111 112 112 Atividade Orientada 119 5.1 Etapa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2 Etapa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.3 Etapa 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .…

* 0$12%$ * 34.4 $2$ $ 5$0%06$ 5'757' $ 2)$$ %7'1$ , $)%' 8 0 95%$ .:;:? @ 0/ ..;A4=>:?     $2$ $ 5$0%06$ 05%$ 0$ %B2 0$%2'7 * ')%' "$ *1%& 5%%'% 2' 10*' * 2%5'*$%' 5$2  "$ %&%'  $2$ $ 5$0%06C*$ 05%$ 0$ %B2 0$%2'7 * ')%' "$ *$  *1%& 5%%'% 2' ' "$ * 2%5'*$%'…

1 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Sejam v1 , v 2 , ..., v n vetores em V e a equação vetorial a1v1  a 2 v 2  ...  a n v n  0 (1) Obviamente o vetor zero sempre pode ser escrito “trivialmente” como CL de v1 , ..., v n pois a afirmação 0.v1  0.v2  ...  0.v n  0 é sempre verdadeira para quaisquer que sejam os vetores dados. A solução a1  a 2  ...  a n  0 é chamada solução trivial de (1). A respeito desta equação o interesse está na resposta à pergunta …

nulo de V está em S. 2) Se u ∈ S e v ∈ S então u + v ∈ S 3) Se u ∈ S e 𝛼 𝜖 R então 𝛼𝑢 𝜖 S Exemplo 2: Exemplo 3: Seja S = {(x,y,z) ∈ R3/ x + y + z = 0}, S é um subespaço de R3? Exercícios: 1. Verificar se W = {(x,y,z)/ y = ax e z = bx} é um subespaço de R3. 2. Considere os espaços vetoriais reais R2 e R3, verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais dos espaços vetoriais, onde estão definidos: a) F = { (x,y) ∈ R2/ x= 2y} b) G = {(a,b,c) ∈ R3/ b + c = 1} c) M =

R2 dada por: < (a, b), (x, y) > .(a, b) |(a, b)|2 a2 x + aby abx + b2 y = , 2 a2 + b 2 a + b2 Pr (x, y) = Pr d) Reflex˜ao de todo vetor no plano em rela¸ca˜o a uma reta que passa pela origem r : (x, y) = t(a, b): Rr : R2 → R2 dada por Rr (x, y) = 2ab 2ab b 2 − a2 a2 − b 2 x + y, x + y a2 + b 2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b 2 e) Rota¸ca˜o de um ˆangulo θ em todo vetor no plano: Rθ : R2 → R2 dada por Rθ (x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) 2. Calcule a matriz associada a cada…