Subespaços Vetoriais

Subespaços Vetoriais
Seja V um espaço vetorial e S um subconjunto, que é fechado para as operações de adição e multiplicação por escalar em V, isto é, se u e v ∈ S e a ∈ R, então u + v ∈ S e av ∈ S, então S é um subespaço de V. Em particular, S é um EV.
Propriedades:
1) O vetor nulo de V está em S.
2) Se u ∈ S e v ∈ S então u + v ∈ S
3) Se u ∈ S e 𝛼 𝜖 R então 𝛼𝑢 𝜖 S

Exemplo 2:

Exemplo 3:
Seja S = {(x,y,z) ∈ R3/ x + y + z = 0}, S é um subespaço de R3?

Exercícios:
1. Verificar se W = {(x,y,z)/ y = ax e z = bx} é um subespaço de R3.
2. Considere os espaços vetoriais reais R2 e R3, verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais dos espaços vetoriais, onde estão definidos:
a) F = { (x,y) ∈ R2/ x= 2y}
b) G = {(a,b,c) ∈ R3/ b + c = 1}
c) M = {(x1, x2,x3) ∈ R3/ x1 = x22}
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏
3. Sejam M(2,2) =
; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑅 e S =
; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 . Verifique se S é um
𝑐 𝑑
0 0 subespaço vetorial de M(2,2).
4. Verifique se o conjunto-solução de um sistema linear homogêneo a três variáveis é um subespaço vetorial de M(3,1). Considerando o sistema homogêneo:
3𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0

Interseção de dois Subespaços Vetoriais
Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V. A interseção S de S1 e S2, que se representa por S = S1 ∩ S2, é o conjunto de todos os vetores v ∈ V tais que v ∈ S1 e v ∈ S2.
Teorema
A interseção S de dois subespaços vetoriais S1 e S2 de V é um subespaço vetorial de V. De fato:
I)

II)

Se u, v ∈ S1, então u + v ∈ S1
Se u, v ∈ S2, então u + v ∈ S2.
Logo:
u + v ∈ S = S1 ∩ S2
Para qualquer 𝛼 ∈ R:
Se v ∈ S1, então 𝛼 v ∈ S1;
Se v ∈ S2, então 𝛼 v ∈ S2.
Logo:
𝛼 v ∈ S = S1 ∩ S2

Exemplo:

2. Seja o espaço vetorial R3 = {(a,b,c); a,b ,c ∈ R} e os subespaços
S 1 = { (a, b, c). a, b,c, ∈ R} e S2 = {(0,0,c} , c ∈ R}. A interseção S1 ∩ S2 é o subespaço vetorial S = {(0,0,0)} = {0}

Soma de dois subespaços vetoriais
Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais