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DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Sejam v1 , v 2 , ..., v n vetores em V e a equação vetorial

a1v1  a 2 v 2  ...  a n v n  0

(1)

Obviamente o vetor zero sempre pode ser escrito “trivialmente” como CL de v1 , ..., v n pois a afirmação 0.v1  0.v2  ...  0.v n  0 é sempre

verdadeira para quaisquer que sejam os vetores dados. A solução a1  a 2  ...  a n  0 é chamada solução trivial de (1). A respeito desta equação o interesse está na resposta à pergunta
“A solução trivial de (1) é única?
Se a resposta for
a) Sim, então v1 , v 2 , ..., v n são linearmente independentes (LI)

ou o conjunto v1 , v 2 , ..., v n  é LI

b)

Não, então v1 , v 2 , ..., v n são linearmente dependentes (LD)

ou o conjunto v1 , v 2 , ..., v n  é LD, e neste caso, a equação (1) admite soluções não triviais ai  0

Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1 – Os vetores unitários canônicos de R 4

e1  1,0,0,0 e2  0,1,0,0 e3  0,0,1,0 e4  0,0,0,1

são LI pois a equação

a1e1  a2 e2  a3e3  a4 e4  0 ou se reduz a

a1 1,0,0,0  a 2 0,1,0,0  a3 0,0,1,0  a 4 0,0,0,1  0,0,0,0

a1 , a2 , a3 , a4   0,0,0,0

e portanto, possui somente a solução trivial a1  a2  a3  a4  0
Exemplo 2 – Os vetores v1  1,0,0 , v 2  2,1,0 e v 3  1,-1,1 são LI, pois a equação

a1v1  a 2 v 2  a3 v3  0 ou o sistema correspondente


1 2 1 0
0 1  1 0 


0 0 1 0 



 só admite a solução trivial a1  a 2  a3  0 .

Álgebra Linear

Profª. Adriana F. V. Biscaro

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Exemplo 3 – Os vetores v1  1,0,0 , v 2  2,1,2 e v 3  1,2,4  são LD pois além de ser verdade que 0.v1  0.v 2  0.v3  0 também é verdadeira a afirmação

3v1  2v 2  v3  0 (verifique) isto é, a igualdade a1v1  a 2 v 2  a3 v3  0 admite soluções ai  0 (não triviais).

Observação Importante
Todo sistema homogêneo no qual ocorre número de equações < número de variáveis é indeterminado, ou seja, admite