LISTA COMPLETA TRANSFORMA ES LINEARES

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHAO
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
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DISCIPLINA: ALGEBRA
LINEAR

PROF: GREICIANE

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CURSO: CIENCIAS
DA COMPUTAC
¸ AO
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LISTA DE EXERC´ICIOS - TRANSFORMAC
¸ OES
LINEARES
1. Mostre que cada uma das transforma¸c˜oes de R2 em R2 a seguir s˜ao lineares e fa¸ca o gr´afico de cada uma delas.
a) Proje¸ca˜o nos eixos x e y, respectivamente: Px , Py : R2 → R2 que levam todo vetor nas suas proje¸co˜es nos eixos x e y, respectivamente, ou seja:
Px (x, y) = (x, 0) Py (x, y) = (0, y)
b) Reflex˜ao em rela¸c˜ao aos eixos x e y: Rx , Ry : R2 → R2 tal que Rx (x, y) = (x, −y) e Ry (x, y) = (−x, y).
c) Proje¸c˜ao ortogonal de todo vetor no plano numa reta que passa pela origem r : (x, y) = t(a, b): Pr : R2 → R2 dada por:
< (a, b), (x, y) >
.(a, b)
|(a, b)|2 a2 x + aby abx + b2 y
=
, 2 a2 + b 2 a + b2

Pr (x, y) =
Pr

d) Reflex˜ao de todo vetor no plano em rela¸ca˜o a uma reta que passa pela origem r : (x, y) = t(a, b): Rr : R2 → R2 dada por
Rr (x, y) =

2ab
2ab
b 2 − a2 a2 − b 2 x + y, x
+
y a2 + b 2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b 2

e) Rota¸ca˜o de um ˆangulo θ em todo vetor no plano: Rθ : R2 → R2 dada por
Rθ (x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ)
2. Calcule a matriz associada a cada uma das transforma¸co˜es em rela¸ca˜o `a base canˆonica do R2 .
a) Rota¸ca˜o de um aˆngulo π de um vetor no R2 .
1

b) Reflex˜ao de um vetor no R2 em rela¸ca˜o a uma reta com equa¸c˜ao vetorial (x, y) = t(2, −1).
c) Proje¸c˜ao de um vetor do plano no eixo x.
d) Proje¸ca˜o de um vetor do R2 na reta r : (x, y) = t(0, 4).
e) Proje¸c˜ao de um vetor do plano no eixo y. f ) Reflex˜ao de um vetor do plano em rela¸ca˜o ao eixo x.
g) Reflex˜ao de um vetor do plano em rela¸ca˜o ao eixo y.
3. Encontre a transforma¸ca˜o linear T : M2×2 → P2 , tal que:






1 0
0 1
0 0
 = 1, T 
 = −x, T 
 = 4 − x2 ,
T 
0 0
0 0
1 0


0 0
 = x + 3x2 .
T 
0 1
4. Seja T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (2x + y, x − 3y), (x, y) ∈ R2 . Determine [T ]αα , onde α = {(1, 1), (1,