Z 2 Em R3

Verifique que Rn ´ um espa¸o vetorial. e c 2. Mostre que os seguintes conjuntos s˜o subespa¸os: a c { } (a) W = (x1 , . . . , x4 ) : xi ∈ R4 : x1 + x2 = 0, x3 − x4 = 0 . {( ) } a b (b) W = ∈ M (2 × 2) : b = c = 0 . c d 3. Considere dois vetores no plano (a, b) e (c, d). Se ad − cd = 0, prove que eles s˜o LD. Se ad − cd ̸= 0, mostre que eles s˜o LI. a a 4. Exiba uma base e determine a dimens˜o dos espa¸os vetoriais abaixo: a c (a) M (2 × 3). (b) M (n × m). (c)…

´ Algebra Linear S´ rgio Lu´s Zani e ı 2 Sum´ rio a 1 Espacos Vetoriais ¸ 1.1 Introducao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Exerc´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 2 Subespacos Vetoriais ¸ 2.1 Introducao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 2.2 Intersecao e Soma de Subespacos . . . . . . . . . . . . . . . .

17 29 2 1 Espaços Vectoriais 1 1.1 Espaços Vectoriais Dependência e Independência Linear Exercício 1 Sejam u e v dois vectores linearmente independentes de um espaço vectorial real E. Determine o escalar α ∈ R para o qual os vectores αu + 2v e u − v são linearmente dependentes. Solução Os vectores serão linearmente independentes se a única combinação linear nula destes se obtiver com os escalares nulos: β 1 (αu + 2v) + β 2 (u − v) = 0 =⇒ =⇒ (β 1 α + β 2 ) u + (2β 1 − β…

O Espaço R3: É representado pelo conjunto de todos os termos ordenados de números reais. Onde : x - Corresponde a abscissas do termo Y - Corresponde a ordenadas do termo Z -Corresponde a cota do termo X , y , z - Corresponde as coordenadas do termo. Cada termo ( x,y,z) é um elemento de R3 que é associado a um ponto do espaço tridimensional em que fixamos um sistema de coordenadas ortogonais, onde o eixo x é o das abscissas, o eixo y das ordenadas e o eixo z…

conjunto dos vetores (x, y, z) em R3 tais que z = 0 k) Oconjuntodosvetores(x,y,z)emR3 taisquex=0ouy=0 l) O conjunto dos vetores (x, y, z) em R3 que s ̃ao mu ́ltiplos de (1, 2, 3) m) O conjunto dos vetores em R3 que s ̃ao combinac ̧ ̃oes dos vetores u e v n) O conjunto das matrizes 2 × 2 cujo tra ̧co ́e zero o) O conjunto das matrizes 2 × 2 cujo determinante ́e zero p) O conjunto das matrizes 2 × 2 que s ̃ao sim ́etricas,i.e, A = At q) O conjunto dos vetores (x, y, z) que satisfaz a equa ̧c ̃ao

´ Algebra Linear S´ergio Lu´ıs Zani 2 Sum´ario 1 Espac¸os Vetoriais 1.1 Introduc¸a˜ o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 12 13 2 Subespac¸os Vetoriais 2.1 Introduc¸a˜ o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Intersec¸a˜ o e Soma de Subespac¸os . . . . . . . . . . . . . .

Exemplo A matriz M= ´e ortogonal. √ √ 1/ √ 2 1/√2 −1/ 2 1/ 2 5.5 — Operadores Ortogonais Propriedades 1. A inversa de uma matriz ortogonal ´e uma matriz ortogonal. 5.5 — Operadores Ortogonais Propriedades 1. A inversa de uma matriz ortogonal ´e uma matriz ortogonal. 2. O determinante de uma matriz ortogonal M ´e 1 ou -1. 5.5 — Operadores Ortogonais Propriedades 1. A inversa de uma matriz ortogonal ´e uma matriz ortogonal. 2. O determinante de uma…

❞❡ ❝♦♦r❞❡♥❛❞❛s ♥♦ ♣❧❛♥♦✳ ❉❡ ❢❛❝t♦✱ T é ✐♥❥❡t✐✈❛ ❡♠ R2 ✭♥♦t❡ q✉❡ é ✉♠❛ ❛♣❧✐❝❛çã♦ ❧✐♥❡❛r✮ ❝✉❥♦ ❏❛❝♦❜✐❛♥♦ ∂(x, y) = ∂(u, v) ∂x ∂u ∂y ∂u ∂x ∂v ∂y ∂v = 2 −1 1 1 = 3, ✻ ❈❆P❮❚❯▲❖ ✶✳ ❈➪▲❈❯▲❖ ❱❊❚❖❘■❆▲ ♥✉♥❝❛ s❡ ❛♥✉❧❛✳ ❙♦❜ ❡st❛ tr❛♥s❢♦r♠❛çã♦ ♣♦❞❡♠♦s ✈❡r✱ ♣♦r ❡①❡♠♣❧♦✱ ♦ tr✐â♥❣✉❧♦ ❝✉❥♦s ✈ért✐❝❡s sã♦ ♦s ♣♦♥t♦s ❞❡ ❝♦♦r❞❡♥❛❞❛s ❝❛rt❡s✐❛♥❛s O = (0, 0), A = (2, 1), B = (−1, 1) s❡ tr❛♥s❢♦r♠❛ ♥♦ tr✐â♥❣✉❧♦ ❞❡ ✈ért✐❝❡s O = (0, 0), A = (1, 0), B = (0, 1) ♥♦ ♣❧❛♥♦ ✶✳✶ ❈♦♦r❞❡♥❛❞❛s ♣♦❧❛r❡s ❊st❡…

Sumário 1. Espaços Vetoriais 1 1.1 Corpos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Espaço de Matrizes m n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Resolvendo Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Inversão de Matrizes . . .…

é um subespaço de W . (b) Ker(T ) é um subespaço de V . 2. Considere a transformação linear T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (z, x − y, −z). (a) (b) (c) (d) Determine uma base do núcleo de T . Dê a dimensão da imagem de T . T é sobrejetora? Justique. Faça um esboço de Ker(T ) e Im(T ). 3. No plano, uma rotação anti-horária de 45◦ é seguida por uma dilatação de A que representa esta trasnformação do plano. √ 2. Ache a aplicação 4. Seja A : E → F uma…