Teste

Universidade Federal Rural do Semiárido-UFERSA
Departamento de Ciências Exatas e Naturais
Curso: Bacharelado em Ciência e Tecnologia e Computação
Disciplina: Álgebra Linear
Aluno(a):

Turno:

Manhã

Tarde

Noite

Entregar dia 19/10
1. Se T : V → W é uma transformação linear, mostre que:
(a) Im(T ) é um subespaço de W .
(b) Ker(T ) é um subespaço de V .

2. Considere a transformação linear T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (z, x − y, −z).
(a)
(b)
(c)
(d)

Determine uma base do núcleo de T .
Dê a dimensão da imagem de T .
T é sobrejetora? Justique.
Faça um esboço de Ker(T ) e Im(T ).

3. No plano, uma rotação anti-horária de 45◦ é seguida por uma dilatação de
A que representa esta trasnformação do plano.

√

2. Ache a aplicação

4. Seja A : E → F uma transformação linear. Mostre que se os vetores Av1 , . . . , Avm ∈ F são L.I., então v1 , . . . , vm ∈ E também são L.I..



1
5. Seja T o opererador linear dado pela matriz:  2
1

(a) Calcular Ker(T ) e dim(Ker(T )).
(b) Calcular Im(T ) e dim(Im(T )).


2 −1
0
1 
−2
2

6. Mostrar que a matriz do operador linear indentidade
I : Rn → Rn , I(v) = v

em uma base qualquer, é a matriz identidade n × n.

7. Dados T : U → V linear e injetora e u1 , u2 , . . . , uk , vetores L.I. em U , mostre que {T (u1 ), . . . , T (uk )} é L.I.

8. (a) Qual é a transformação linear T : R2 → R3 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0, −2) = (0, 1, 0)
(b) Ache T (1, 0) e T (0, 1)
(c) Qual é a transformação linear S : R3 → R2 tal que S(3, 2, 1) = (1, 1), S(0, 1, 0) = (0, −2) e
S(0, 0, 1) = (0, 0)

(d) Ache a transformação linear P : R2 → R2 tal que P = S ◦ T

9. Ache a transformação linear T : R3 → R2 tal que T (1, 0, 0) = (2, 0), T (0, 1, 0) = (1, 1) e T (0, 0, 1) =
(0, −1). Encontre v ∈ R3 tal que T (v) = (3, 2).

10. Seja T : V → W uma transformação. Mostre que se T é linear, então T (0) = 0.