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Álgebra Linear - Exercícios (Espaços Vectoriais)

Índice
1 Espaços Vectoriais 1.1 Dependência e Independência Linear 1.2 Sistemas de Geradores e Bases . . . 1.3 Subespaços Vectoriais . . . . . . . . 1.4 Miscelânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 10 17 29

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1 Espaços Vectoriais

1
1.1

Espaços Vectoriais
Dependência e Independência Linear

Exercício 1 Sejam u e v dois vectores linearmente independentes de um espaço vectorial real E. Determine o escalar α ∈ R para o qual os vectores αu + 2v e u − v são linearmente dependentes. Solução Os vectores serão linearmente independentes se a única combinação linear nula destes se obtiver com os escalares nulos: β 1 (αu + 2v) + β 2 (u − v) = 0 =⇒ =⇒ (β 1 α + β 2 ) u + (2β 1 − β 2 ) v = 0 Dado que u e v são linearmente independentes da expressão anterior resulta que: ½ β1α + β2 = 0 2β 1 − β 2 = 0

Temos portanto um sistema homogéneo de duas equações a¸ duas incógnitas, · α 1 . Se o sistema β 1 e β 2 , cuja matriz do sistema é dada por A = 2 −1 for determinado, a única solução será β 1 = β 2 = 0, pelo que os vectores dados serão linearmente independentes. Pretende-se portanto que o sistema seja indeterminado, isto é rA < 2. Construímos a matriz ampliada do sistema e estudamos a respectiva característca: · α 2 2 α 2 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 ¸ ¸

[ A| B] =

· ·

−1 1 −1

α+2 2

³ α´ L2 ← L2 + − L1 2 −−−−−−−− −−−−−−−→ ¸

L1− − − 2 − ←→ L − − −→

Tem-se claramente rA = rA|B , o que significa que o sistema é possível (como já sabíamos por ser um sistema homogéneo). Se α 6= −2 tem-se rA = 2 o que implica um sistema possível e determinado; se α = −2, tem-se rA = 1 < 2 pelo que teremos um sistema possível e indeterminado. O escalar escolhido deverá portanto ser α = −2.

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1 Espaços Vectoriais

Exercício 2 Sejam u, v e w três vectores linearmente independentes de um espaço