Z 2 Em R3

 Algebra Linear Srgio Lu Zani e s Departamento de Matemtica a ICMC { USP 2010 2 Sum´rio a 1 Espa¸os Vetoriais c 5 1.1 Introdu~o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ca 1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13  2 Subespa¸os Vetoriais c 15 2.1 Introdu~o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ca 2.2…

admite somente a solução nula. 2)Verificar se o conjunto S = {(x, y, z) | x = 4y, z = 0} é um subespaço vetorial de R3, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Resp.: Sejam os vetores de S: v1 = (4y1; y1; 0) e v2 = (4y2; y2; 0) e número α real: i)v1+ v2 = (4y1; y1; 0) + (4y2; y2; 0) = (4y1+ 4y2; y1+ y2; 0) = (4(y1+y2); y1+ y2; 0) ЄR3 ii)αv1 = α(4y1; y1; 0) = (4αy1; α y1; 0) ЄR3. Logo o conjunto S acima é subespaço vetorial de R3. 3)Determinar…

ϵ V, tal que u + v = 0 ( oposto do elemento u) 2) Está definida uma multiplicação em V que associa a cada elemento u um único elemento em V, indicado por α.u e chamado de multiplicação de u por α, que satisfaz as seguintes propriedades: α . (β . v) = (α . β) . v • α . (v+w) = α . v + α . w • (α + β) . v = α . v + β . v • 1. v = v Exemplo 1: V = R2 = { (x,y) ; x,y Є R} é espaço vetorial . Exemplo 2: V = R3 = { (x,y,z) ; x,y,z Є R} é espaço vetorial . •   Exemplo 3

´ Algebra Linear I - Aula 2 1. Coordenadas em R2 e R3 . 2. Vetores. 3. Distˆncias. a 4. M´dulo de um vetor. o Roteiro 1 Coordenadas em R2 e R3 Em primeiro lugar lembramos o significado geom´trico das equa¸˜es x = k, e co 2 3 3 y = k (em R e R ) e z = k (em R ). x=m Y k (m, k) m y=k X Figura 1: Retas paralelas aos eixos Equa¸˜es das retas e planos paralelos aos planos e os eixos coordenados. co Exemplo 1. Seja P um paralelep´ ıpedo com faces paralelas

na figura 2, contém informação sobre o funcionamento do sistema. Observar que, se a tensão de bateria estiver entre VBatMáx e VBatMín, o carregador continuará ligado se ele já estava antes, e continuará desligado também se ele já estava antes. Há uma informação memorizada na saída do comparador, que determina o estado do carregador. 1 VBat >= VBatMáx Carregador ligado Carregador desligado VBat =< VBatMín VBat < VBatMáx VBat > VBatMín Condição…

 Algebra Linear S ergio Lu s Zani Departamento de Matem atica ICMC { USP 2010 2 Sum´ ario 1 Espa¸cos Vetoriais 5 1.1 Introduc~ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Subespa¸cos Vetoriais 15 2.1 Introduc~ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Intersec~ao e Soma de

Exemplos: 1) T : R 2 → R 2 ( x , y ) a T ( x, y ) = ( − x, − y ) Verificando os axiomas: TL1. T (( x , y ) + ( z , t )) = T ( x, y ) + T ( z, t) , para quaisquer ( x , y ), ( z, t ) ∈ R 2 ? T ((x, y ) + ( z, t)) = T ( x + z, y + t ) = (−( x + z ),− ( y + t )) = (− x − z,− y − t) T ( x , y ) + T ( z, t ) = ( − x,− y ) + (− z,− t ) = (− x − z ,− y − t ) Assim, a transformação linear T preserva a operação de adição de vetores. TL2. T (k ⋅ ( x, y )) = k ⋅ T ( x , y ) , para todo ( x , y ) ∈…

solução única ii) tenha infinitas soluções iii) não tenha solução 0bs: resolver aplicando processo da Álgebra Linear (escalonamento) Solução: A.X=B [pic]. [pic] = [pic] x + y + az = 2 x + y + az = 2 x + y + az = 2 2x + y + 2az = 3 ~ [pic] - y = -1 ~ - y = -1 3x + y + 3az = c -2y = -6 + c 0 …

Mostre que B ´ uma base para R3 . e b) Encontre a matriz de mudan¸a de coordenadas A da base canˆnica {i, j, k} de R3 para a base B. c o Qual ´ matriz de mudan¸a de coordenadas A da base B para a base canˆnica? e c o c) Quais s˜o as coordenadas dos vetores canˆnicos i, j e k em rela¸˜o ` base B? a o ca a d) Se o ponto P tem coordenadas (1, −2, 5) no sistema {O, i, j, k}, quais s˜o as coordenadas de P no a sistema {O, B}? 2. Considere o subconjunto de vetores B = {(1, 1, −2), (1, −1, 0),…

a) Mostre que B ´e uma base para R3 . b) Encontre a matriz de mudan¸ca de coordenadas A da base canˆonica {i, j, k} de R3 para a base B. Qual ´e matriz de mudan¸ca de coordenadas A da base B para a base canˆonica? c) Quais s˜ ao as coordenadas dos vetores canˆonicos i, j e k em rela¸c˜ao `a base B? d) Se o ponto P tem coordenadas (1, −2, 5) no sistema {O, i, j, k}, quais s˜ao as coordenadas de P no sistema {O, B}? 2. Considere o subconjunto de vetores B = {(1, 1, −2), (1, −1, 0), (1, 1,…