Transformacoes Lineares

TRANSFORMAÇÕES LINEARES
♦ Transformação Linear

Sejam V e W espaços vetoriais reais. Dizemos que uma função T : V → W é uma transformação linear se a função T preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar, isto é, se os seguintes axiomas são satisfeitos:
TL1. Para quaisquer v, u ∈ V , T (v + u) = T (v ) + T (u ) .
TL2. Para todo v∈V e para todo k ∈ R , T (k ⋅ v) = k ⋅ T ( v ) .
Exemplos:
1) T : R 2 → R 2
( x , y ) a T ( x, y ) = ( − x, − y )
Verificando os axiomas:
TL1. T (( x , y ) + ( z , t )) = T ( x, y ) + T ( z, t) , para quaisquer ( x , y ), ( z, t ) ∈ R 2 ?
T ((x, y ) + ( z, t)) = T ( x + z, y + t ) = (−( x + z ),− ( y + t )) = (− x − z,− y − t)
T ( x , y ) + T ( z, t ) = ( − x,− y ) + (− z,− t ) = (− x − z ,− y − t )
Assim, a transformação linear T preserva a operação de adição de vetores.
TL2. T (k ⋅ ( x, y )) = k ⋅ T ( x , y ) , para todo ( x , y ) ∈ R 2 e para todo k ∈ R ?
T (k ⋅ ( x, y )) = T ( kx, ky ) = (− (kx ),−(ky )) = (k ( − x ), k ( − y )) = k ⋅ ( − x,− y ) = k ⋅ T ( x, y )
Assim, a transformação linear T preserva a operação de multiplicação por escalar.
Considere v = (1,2 ) e u = ( −1,3) .
T (v ) = T (1,2) = (−1, −2)
T (u ) = T ( −1,3) = (1, −3)
T (v ) + T (u ) = ( −1,−2 ) + (1, −3) = (0,−5)
T (v + u) = T ((1,2) + (−1,3)) = T (0,5) = (0, −5)
T (2 ⋅ v ) = T (2 ⋅ (1,2 )) = T (2,4) = (−2,−4 ) = 2 ⋅ (−1,−2) = 2 ⋅ T (1,2) = 2 ⋅ T ( v )
Y

Y

(x, y)

y x X

T

-x
T(x, y)=(-x, -y)

X
-y

2) T : R 3 → R 3
( x, y , z ) a T ( x, y, z) = ( x , y ,0)
T é uma transformação linear (Verifique !)
Esta transformação linear associa a cada vetor do R3 sua projeção ortogonal sobre o plano XY.

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Z

Z

(x, y, z)
Y

T

Y
T(x, y, z)=(x, y, 0)

X

X

A transformação linear T0 : V → W tal que v a T 0 ( v ) = 0W é denominada Transformação Nula.
Seja a transformação linear T : V → W . Se os conjuntos V e W são iguais, V = W , então T é denominada um Operador Linear.
O operador linear I V : V → V tal que v a I V (v ) = v é denominado Operador