Transformaçoes lineares

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Estudaremos, nessa parte do conteúdo, um tipo especial de funções, chamadas transformações lineares. Essas funções ocorrem com frequência em Álgebra Linear e em outros campos da matemática, além de serem importantes numa vasta gama de aplicações. Como introdução à definição de transformação linear, consideremos dois exemplos.
Exemplo 1:Reflexão em torno do eixo dos xx.

Seja em R2 a função T definida por
T(x, y) = (x, – y). Geometricamente, T toma cada vetor do R2 e o reflete em torno do eixo dos xx. Essa função, como veremos, é uma transformação linear.

Exemplo 2:Consideremos a expressão matricial de um sistema de equações lineares
Ax = b, onde A é uma matriz mxn, x Î Rn e b Î Rm. Na condição de equação buscamos conhecer x quando A e b são dados. De outro modo, dada a matriz A, a equação Ax = b, pode ser vista assim: "Diga-me um vetor x em Rn e eu te direi um vetor b em Rm", isto é, a matriz A representa a função com domínio Rn e contra domínio Rm, onde a imagem de cada x Î Rn é b= Ax Î Rm. Essa função tem as seguintes propriedades: * A(x + y) = Ax + Ay, e * A(a x) = a Ax com a Î R que caracterizam as transformações lineares. Definição Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação linear T de V em W é uma função (ou aplicação) que a cada v Î V faz corresponder um único T(v) Î W e que satisfaz as seguintes duas condições:
" u, v Î V e " a Î R, ( i ) T (u + v) = T (u) + T (v); ( ii) T (a v) = a T (v).
Observações.
1)Nós escrevemos T: V® W para indicar que T aplica vetores do espaço vetorial V em vetores do espaço vetorial W. Isto é, T é uma função com domínio V, contra domínio W e cuja imagem é um subconjunto de W;
2)T(v) é lido "T de v", de modo análogo à notação funcional f (x), que é lida "f de x";
3)Uma transformação linear T:V® V, que tem como domínio e contra