Transformações lineares

Introdução
Álgebra linear é uma parte da Álgebra que, por sua vez, é um ramo da Matemática na qual são estudados matrizes, espaços vetoriais e transformações lineares. Todos esses itens servem para um estudo detalhado de sistemas lineares de equações. É um fato histórico que a invenção da Álgebra Linear ser um campo abstrato da Matemática, ela tem um grande número de aplicações dentro e fora da matemática.
Tanto a álgebra Linear como a Geometria Analítica aplicam-se a várias áreas, em especial às Engenharias.
Será abordada um tipo especial de funções, chamadas transformações lineares. Essas funções ocorrem com freqüência em Álgebra Linear e em outros campos da matemática, além de serem importantes numa vasta gama de aplicações.

Transformações Lineares
Como introdução à definição de transformação linear, consideremos dois exemplos. Recorde-se que uma aplicação (ou função) de um conjunto sobre outro é uma regra que, a cada elemento do primeiro conjunto (conjunto de partida), faz corresponder um e um só elemento do segundo (conjunto de chegada).
As transformações lineares são aplicações entre dois espaços vetoriais que, num certo sentido, preservam as operações de adição e multiplicação escalares definidas nesses espaços. A importância de que se revestem na resolução de diversos problemas de Engenharia, tornam as transformações lineares um tema obrigatório de estudo num curso introdutório de Álgebra Linear.

2.1.1 Exemplo. Reflexão em torno do eixo dos xx.

Seja em R2 a função T definida por T(x, y) = (x, – y). Geometricamente, T toma cada vetor do R2 e o reflete em torno do eixo dos xx.
Essa função, como será visto, é uma transformação linear.

2.1.2 Exemplo. Considere a expressão matricial de um sistema de equações lineares Ax = b, onde A é uma matriz mxn, x  Rn e b  Rm. Na condição de equação busca-se conhecer x quando A e b são dados. De outro modo, dada a matriz A, a equação Ax = b, pode ser vista assim: