Transformações lineares

Transformações Lineares

As transformações lineares são funções onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais, isto é, tanto a variável independente como a variável dependente são vetores. Este tipo de função possui uma propriedade importante: preserva a soma e a multiplicação por escalar. As transformações lineares apresentam aplicações na Física, Engenharia, Ciências Sociais e em vários ramos da Matemática. Dados dois conjuntos U e V, ambos não vazios, uma aplicação de U em V é uma “lei” pela qual a cada elemento de U está associado um único elemento de V. Se F indica essa lei e u é elemento genérico de U, então o elemento associado a u é representado por F(u) (lê-se “F de u”) e se denomina imagem de u por F. O conjunto U é o domínio e o conjunto V é o contra-domínio da aplicação F. Para indicar que F é uma aplicação de U em V costuma-se escrever F : U → V, ou ainda, indicado por u um elemento genérico de U , u → F(u).
• Funções lineares descrevem o tipo mais simples de dependência entre variáveis.
• Muitos problemas podem ser representados por tais funções.
•Definição:
Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação linear é uma função de V em W, F: V→W que satisfaz as condições:
i) Quaisquer que sejam u e v em V: F(u+v)=F(u)+F(v) ii) Quaisquer que sejam k∈R e v∈V: F(k.v) = k.F(v)

• OBS 1:
Da definição de transformação linear, temos que a transformação do vetor nulo leva ao mesmo vetor nulo: T(0) = 0.
• Isso ajuda a detectar transformações não lineares: se T(0)≠0, implica uma transformação não linear.
• No entanto, T(0) = 0 não é condição suficiente para que T seja linear (ex.: T(u)= u²).
•OBS 2:
Uma transformação para ser linear não implica que ela é derivada de uma função linear.

As transformações lineares são importantes em diversas áreas. Elas são de fundamental importância nos estudos de