Transformações Lineares

Transformações Lineares

1) Verificar quais das seguintes transformações são lineares: a) b) c) d)

2)Considere a base S = {v1, v2} de R2, onde v1 = (1,1) e v2 = (1,0) e seja T: R2R2 o operador linear tal que T(v1) = (1,-2) e T(v2) = (-4,1). Encontre uma fórmula para T(x,y) e use esta fórmula para obter T(5,-3).

3) Considere a base S = {v1, v2,} de R2, onde v1 = (-2,1) e v2 = (1,3) e seja T: R2R3 o transformação linear tal que T(v1) = (1, -2, 0) e T(v2) = ( 0, -3, 5). Encontre uma fórmula para T(x, y) e use esta fórmula para obter T(2,-3).

4) Seja T: R2 →R2, T(x, y) = (2x – y, - 8x + 4y). a) Quais dos seguintes vetores estão na imagem de T? i) (1, - 4) ii) (5, 0) iii) ( - 3, 2) b) Quais dos seguintes vetores estão no núcleo de T? i) (5, 10) ii) (3, 2) iii) (1, 1) c) Encontre uma base do núcleo e da imagem.

5) Considere as seguintes transformaçães lineares e determine: a) Núcleo e imagem de T. b) Uma base para o núcleo e para a imagem de T. c) Dimensão do núcleo e da imagem de T 5.1) dada por T(x, y, z) = (z, x-y, -z) 5.2) 5.3) 5.4) 5.5) 5.6)

6) Dadas as seguintes matrizes de operadores lineares:
a) b) c) d) e) f ) g) h) Determinar:
a) Os autovalores e os autovetores das matrizes.
b) Uma base para estes auto-espaços (autovetores).