exercicios espacos euclidianos 1a

Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciˆencias Exatas
Departamento de Matem´atica

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Geometria Anal´ıtica e Algebra
Linear – GAAL
ESPAC
¸ OS EUCLIDIANOS – Lista de Exerc´ıcios 1

1. Considere o subconjunto de vetores B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}.
a) Mostre que B ´e uma base para R3 .
b) Encontre a matriz de mudan¸ca de coordenadas A da base canˆonica {i, j, k} de R3 para a base B.
Qual ´e matriz de mudan¸ca de coordenadas A da base B para a base canˆonica?
c) Quais s˜ ao as coordenadas dos vetores canˆonicos i, j e k em rela¸c˜ao `a base B?
d) Se o ponto P tem coordenadas (1, −2, 5) no sistema {O, i, j, k}, quais s˜ao as coordenadas de P no sistema {O, B}?
2. Considere o subconjunto de vetores B = {(1, 1, −2), (1, −1, 0), (1, 1, 1)}.
a) Mostre que B ´e uma base para R3 .
b) Encontre a matriz de mudan¸ca de coordenadas A da base canˆonica {i, j, k} de R3 para a base B.
Qual ´e matriz de mudan¸ca de coordenadas A da base B para a base canˆonica?
c) Quais s˜ ao as coordenadas dos vetores canˆonicos i, j e k em rela¸c˜ao `a base B?
d) Se o ponto P tem coordenadas (1, −2, 5) no sistema {O, i, j, k}, quais s˜ao as coordenadas de P no sistema {O, B}?
3. Considere o subespa¸co Z gerado pelos vetores (1, 2, −1, 3), (3, 0, 1, −2), (1, −4, 3, −8) e (5, −8, 7, −18).
a) Z ´e subespa¸co de qual espa¸co Euclidiano?
b) Encontre uma base para Z.
c) Qual ´e a dimens˜ ao de Z?
d) Encontre uma base ortonormal para Z.
4. Encontre uma base ortonormal B para o subespa¸co W de R5 gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 1, 0, 1), v2 = (1, 0, 0, −1, 1), v3 = (3, 1, 1, −2, 3) e v4 = (0, 2, 1, 1, −1). Qual ´e a dimens˜ao de W?
5. Os vetores (1, 1, 0, −1), (1, 2, 1, 3), (1, 1, −9, 2), (16, −13, 1, 3) formam uma base para R4 ?
6. Considere os seguintes subconjuntos de R4 :
U = {(a, b, c, d) : b + c + d = 0},
W = {(a, b, c, d) : a + b = 0, c = 2d}.
a) Estes subconjuntos s˜ ao subespa¸cos vetoriais de R4 ? Justifique.
b) Encontre uma base e a dimens˜ ao de U.
c) Encontre uma base e