Exercicios

Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciˆncias Exatas e Departamento de Matem´tica a

´ Geometria Anal´ ıtica e Algebra Linear – GAAL ESPACOS EUCLIDIANOS – Lista de Exerc´ ¸ ıcios 1

1. Considere o subconjunto de vetores B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. a) Mostre que B ´ uma base para R3 . e b) Encontre a matriz de mudan¸a de coordenadas A da base canˆnica {i, j, k} de R3 para a base B. c o Qual ´ matriz de mudan¸a de coordenadas A da base B para a base canˆnica? e c o c) Quais s˜o as coordenadas dos vetores canˆnicos i, j e k em rela¸˜o ` base B? a o ca a d) Se o ponto P tem coordenadas (1, −2, 5) no sistema {O, i, j, k}, quais s˜o as coordenadas de P no a sistema {O, B}? 2. Considere o subconjunto de vetores B = {(1, 1, −2), (1, −1, 0), (1, 1, 1)}. a) Mostre que B ´ uma base para R3 . e b) Encontre a matriz de mudan¸a de coordenadas A da base canˆnica {i, j, k} de R3 para a base B. c o Qual ´ matriz de mudan¸a de coordenadas A da base B para a base canˆnica? e c o c) Quais s˜o as coordenadas dos vetores canˆnicos i, j e k em rela¸˜o ` base B? a o ca a d) Se o ponto P tem coordenadas (1, −2, 5) no sistema {O, i, j, k}, quais s˜o as coordenadas de P no a sistema {O, B}? 3. Considere o subespa¸o Z gerado pelos vetores (1, 2, −1, 3), (3, 0, 1, −2), (1, −4, 3, −8) e (5, −8, 7, −18). c a) Z ´ subespa¸o de qual espa¸o Euclidiano? e c c b) Encontre uma base para Z. c) Qual ´ a dimens˜o de Z? e a d) Encontre uma base ortonormal para Z. 4. Encontre uma base ortonormal B para o subespa¸o W de R5 gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 1, 0, 1), c v2 = (1, 0, 0, −1, 1), v3 = (3, 1, 1, −2, 3) e v4 = (0, 2, 1, 1, −1). Qual ´ a dimens˜o de W? e a 5. Os vetores (1, 1, 0, −1), (1, 2, 1, 3), (1, 1, −9, 2), (16, −13, 1, 3) formam uma base para R4 ? 6. Considere os seguintes subconjuntos de R4 : U = {(a, b, c, d) : b + c + d = 0}, W = {(a, b, c, d) : a + b = 0, c = 2d}. a) Estes subconjuntos s˜o subespa¸os vetoriais de R4 ? Justifique. a c b) Encontre uma base e a