Exercícios

4ª Lista de Exercícios de Cálculo Vetorial
Abril, maio/2012 1. Nos seguintes exercícios, calcule as derivadas parciais indicadas: a) c) b) 2. Se , mostre que (Equação de Laplace). 3. Ache a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano x = 4, no ponto (4,9,10). 4. O raio de um cilindro circular reto está decrescendo a uma taxa de 5 cm/min. e a altura está crescendo a uma taxa de 12 cm/min. Ache a taxa de variação do volume no instante em que o raio é 20 cm e a altura é 40 cm. 5. Comprove que satisfaz a equação de Laplace em R2: 6. Em um dado instante, o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é 10 cm e cresce à taxa de 1 cm/min. e o comprimento do outro cateto neste instante é 12 cm, decrescendo à taxa de 2 cm/min. Encontre a taxa de variação da medida do ângulo agudo oposto ao cateto de 12 cm no instante dado. 7. Se f é uma função diferenciável de x e de y e se mostre que e que . 8. Se em que , mostre que . 9. Nos exercícios seguintes, encontre a DD da função dada, no ponto P, na direção e sentido do vetor u:
a) b) 10. Para cada função, calcule o seu gradiente em P e a sua taxa de variação na direção e sentido de u:
a)
b) 11. Trace um mapa de contorno das curvas de nível da função do item (a), do exercício 9, em 8, 4, 0, -4, -8. Represente o grad(f)(-2,2), aplicado em (-2,2). 12. Encontre a direção no ponto (1,3) para a qual o valor de não muda. 13. A temperatura em uma porção do espaço é dada por : a) Ache a taxa de variação de T em P(4,-2,1) na direção de u = 2i+6j-3k; b) Em que direção T aumenta mais rapidamente em P? c) Qual é esta taxa máxima de variação? d) Em que direção T decresce mais rapidamente em P? e) Qual é esta taxa mínima de variação? 14. Mostre que se é diferenciável em cada ponto de um segmento que liga os pontos a e b, então existe, neste segmento, um