operador ortogonal

5.5 — Operadores Ortogonais
Defini¸ca˜o
Uma matriz M , n×n, ´e dita ortogonal quando sua inversa ´e igual a` sua transposta, isto ´e, quando
M −1 = M t .
Ou seja, M ´e ortogonal quando
M t M = I.

5.5 — Operadores Ortogonais
Defini¸ca˜o
Uma matriz M , n×n, ´e dita ortogonal quando sua inversa ´e igual a` sua transposta, isto ´e, quando
M −1 = M t .
Ou seja, M ´e ortogonal quando
M t M = I.

Exemplo
A matriz
M=
´e ortogonal.

√
√
1/ √
2
1/√2
−1/ 2 1/ 2

5.5 — Operadores Ortogonais

Propriedades
1. A inversa de uma matriz ortogonal ´e uma matriz ortogonal.

5.5 — Operadores Ortogonais

Propriedades
1. A inversa de uma matriz ortogonal ´e uma matriz ortogonal.
2. O determinante de uma matriz ortogonal M ´e 1 ou -1.

5.5 — Operadores Ortogonais

Propriedades
1. A inversa de uma matriz ortogonal ´e uma matriz ortogonal.
2. O determinante de uma matriz ortogonal M ´e 1 ou -1.
3. Uma matriz ´e ortogonal se, e s´ o se, suas colunas s˜ao vetores ortonormais (com rela¸c˜ ao ao produto interno usual de Rn ).
O mesmo vale para as linhas.

5.5 — Operadores Ortogonais

Propriedades
1. A inversa de uma matriz ortogonal ´e uma matriz ortogonal.
2. O determinante de uma matriz ortogonal M ´e 1 ou -1.
3. Uma matriz ´e ortogonal se, e s´ o se, suas colunas s˜ao vetores ortonormais (com rela¸c˜ ao ao produto interno usual de Rn ).
O mesmo vale para as linhas.
4. O produto de duas matrizes ortogonais ´e uma matriz ortogonal. 5.5 — Operadores Ortogonais

Defini¸ca˜o
Seja V um espa¸co vetorial euclidiano, isto ´e, um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita, munido de um produto interno. Um operador linear T : V → V ´e dito ortogonal quando preserva a norma de cada vetor, isto ´e,
|T (v)| = |v| para todo v ∈ V.

5.5 — Operadores Ortogonais
Exemplo
Sejam V = R2 munido do produto interno usual e θ um n´ umero real. Ent˜ao, o operador T : R2 → R2 definido por
T (x, y) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ)