Operadores lineares

Álgebra Linear Tipos Especiais de Operadores Lineares
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Tipos Especiais de Operadores Lineares
• Tipos especiais de operadores
Operadores Auto-Adjuntos Operadores Ortogonais

• Teorema: Sejam V um espaço vetorial com produto interno < , > e α = {u1, ..., un} base ortonormal de α. Então, se v e w são vetores de V com y1 x1 [v]α = … e [w]α = … xn yn • Temos: = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn
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• Em outras palavras, ao trabalharmos com uma base ortonormal, para efetuar o produto interno de dois vetores basta multiplicar as coordenadas correspondentes e somar • Definição: Seja A uma matriz n x n real e A’ sua transposta:
a) Se A = A’, dizemos que A é simétrica b) Se A.A’ = A’.A = I (ou seja, A-1 = A’), dizemos que A é uma matriz ortogonal

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• Teorema: Seja A uma matriz ortogonal. Então det A = ±1
Prova: Como A é ortogonal, A.A’ = I ⇒ det (A.A’) = det(I) = 1 det (A.A’) = det(A).det(A’) (propriedade) ⇒ det(A).det(A’) = 1 Mas, det(A) = det(A’) (propriedade) Logo, det2(A) = 1 ⇒ det(A) = ±1

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• Teorema: Uma matriz é ortogonal se e somente se as colunas (ou linhas) são vetores ortonormais • Exemplo: Seja V = R2 e α={(1, 0), (0, 1)} e β = {(cos θ, -sen θ), (sen θ, cos θ)} bases ortonormais • [ I ]αβ = ? • Calculando como vimos antes...
[ I ]αβ = cosθ senθ
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-senθ cosθ

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Cont.

Tipos Especiais de Operadores Lineares
Para checar se [ I ]αβ é ortogonal, basta multiplicá-la pela sua transposta: cosθ senθ = = -senθ cosθ cosθ -senθ senθ cosθ

• Exemplo:

cos2θ + sen2θ 0 1 0 0 1

0 sen2θ +