lgebra Linear Lista 9

Universidade Federal de Pernambuco

VIRTUS IM PA VIDA

C entro Acadêmico do Agreste / N.F.D.
Profa. Giovana Siracusa
Disciplina: Álgebra Linear
Lista 09

1. Considere V = R2 . Mostre que a função

: R2 × R2 → R, definida por

,

(x, y), (x′ , y ′) = 2xx′ − xy ′ − x′ y + 2yy ′ é um produto interno.
2. Seja β = {v1 , ..., vn } ⊂ V uma base ortonormal do espaço vetorial de V. Mostre que, n para v, w ∈ V arbitrários, tem-se v, w =

v, vi w, vi . i=1 3. Mostre que se u e v são vetores de um espaço vetorial euclidiano, então:
(i) u ⊥ v =⇒ u + v

2

= u

2

+ v 2. (Interprete geometricamente esse fato).

(ii) (u + v) ⊥ (u − v) =⇒ u = v .
(iii) u + v

2

+ u−v

2

= 2( u

2

+ v 2 ).

4. Considere o seguinte produto interno no espaço R2 :
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) = x1 x2 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 5y1 y2
Mostre que, em relação a este produto interno, o conjunto {(1, 0), (2, −1)} é uma base ortonormal de R2
5. Considere R4 munido do produto interno canônico. Seja W subespaço de R4 descrito por W = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x + y = 0 e x − z − t = 0}
(i) Determine uma base ortonormal para W.
(ii) Determine uma base ortonormal para W ⊥ .
(iii) Considere C a base canônica de R4 e γ a base ortonormal formada pela junção das bases de W e W ⊥ , encontradas nos itens anteriores. Determine [I]Cγ .
6. Considere em R3 o produto interno dado por
< (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ) >= 2x1 x2 − x1 y2 − x2 y1 + y1 y2 + z1 z2
√
(i) Determine o ângulo entre os vetores (1, 1, 0) e (1, 1, 3).
(ii) Ortogonalize a base β = {(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 1, 1)}

(iii) Seja W ⊂ R3 o subespaço descrito por
W = [(0, 1, 0), (−1, 0, 1)].
Encontre o complemento ortogonal de W
7. Considere R3 munido com o produto interno canônico e seja W o subespaço descrito por W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y − z = 0}
(i) Encontre uma base ortonormal para V.
(ii) Seja α = {v1 , v2 } a base obtida no item anterior, encontre v3 ∈ R3 tal que
{v1 , v2 , v3 } é uma base ortonormal de R3 .

(iii) Determine a transformação linear R que é uma