ELEMENTOS DA ESTRUTURA AXIOMATICA

Notas Para o Curso de An´lise a Matem´tica I a Daniel V. Tausk

Sum´rio a Cap´ ıtulo 1.

Medida de Lebesgue e Espa¸os de Medida............ 1 c 1.1.

Aritm´tica na Reta Estendida...................................... 1 e 1.2.

O Problema da Medida ................................................ 6

1.3.

Volume de Blocos Retangulares.................................... 7

1.4.

Medida de Lebesgue em I n ......................................... 9
R

1.5.

Conjuntos de Cantor .................................................... 26

1.6.

Conjuntos n˜o Mensur´veis .......................................... 29 a a

Exerc´ ıcios para o Cap´ ıtulo 1.................................................. 33
Cap´
ıtulo 2.

Integrando Fun¸˜es em Espa¸os de Medida .......... 39 co c

2.1.

Fun¸˜es Mensur´veis .................................................... 39 co a

2.2.

Integrando Fun¸˜es Simples n˜o Negativas .................. 49 co a

2.3.

Integrando Fun¸˜es Mensur´veis n˜o Negativas........... 53 co a a 2.4.

Defini¸˜o da Integral: o Caso Geral ............................. 56 ca 2.5.

Teoremas de Convergˆncia ........................................... 61 e 2.6.

Riemann x Lebesgue..................................................... 65

2.7.

O Teorema de Fubini em I n ....................................... 73
R

Exerc´ ıcios para o Cap´ ıtulo 2.................................................. 82
Cap´
ıtulo 3.
3.1.
3.2.

O Teorema de Mudan¸a de Vari´veis para Integrais c a de Lebesgue ............................................................. 88
O Efeito de Aplica¸˜es Lipschitzianas sobre a Medida co de Lebesgue......................................................... 88
O Efeito de Aplica¸˜es Lineares sobre a Medida de Leco besgue ................................................................. 91

3.3.

O Teorema de Mudan¸a de Vari´veis