TL Complemento

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS
Núcleo de uma transformação Linear
Chama-se de núcleo de uma transformação linear T: V W ao conjunto de todos os vetores v∈V que são transformados em 0 ∈ W. Indica-se por N(T) ou ker(T):
N(T) = {v V/T(v) = 0}

R
Observemos que N(T)

V e N(T) ≠ , pois 0

N(T), tendo em vista que T(0) = 0.

1) Exemplo: Seja T:R2  R3 tal que T(x,y) = (0, x+y, 0).

N(T) = {(x,y) ∈R2/ T(x,y) = (0,0,0)}
Então, T(x,y) = (0,x+y,0) = (0,0,0)
Assim, x+y = 0 x = -y
Portanto, N(T) = {( x,y) ∈R2/ x = -y} = {(-y,y), y ∈R}.
Uma base é {(-1,1)} e dimN(T) = 1
Representação Gráfica:

2)

T:R2

Determinar o núcleo da seguinte transformação linear
R2 , T(x,y) = (x+y, 2x – y)

Por definição: N(T) = {(x,y) R2/T(x,y) = (0,0)}
TRANSFORMAÇÕES LINEARES -

PROFª. ADRIANA BISCARO

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Assim, (x,y)

N(T) se (x+y, 2x – y) = (0,0).

3) Seja T:R3 R2 a transformação linear dada por:

T(x,y,z) = (x-y+4z, 3x+y+8z), determinar seu núcleo.

Propriedades do Núcleo:

1) O núcleo de uma transformação linear T:V

é um subespaço vetorial de

V.
Sejam v1 e v2 vetores pertencentes ao N(T) e

um número real qualquer.

Então, T(v1) = 0 e T(v2) = 0. Assim:
I)

T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = 0 + 0 = 0
Isto é: v1+ v2

II)

N(T)

T(αv1) = αT(v1) = α.0 = 0 isto é: αv1 N(T)

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2) - Uma transformação linear T:V

W é injetora se, e somente se, N(T) = {0}.

Obs.: Uma aplicação T:V W é injetora se

v1, v2

V, T(v1) = T(v2),

implica que v1 = v2. Ou de modo equivalente, se v1, v2

V, v1

v2 implica T(v1)

T(v2).

Imagem
Chama-se imagem de uma transformação linear T:V W ao conjunto dos vetores w W que são imagens de pelo menos um vetor v

Indica-se esse conjunto por Im(T) ou

T(V):
Im(T) = {w W/T(v) = w para algum v V}.

Observação: note Im(T) ⊂W e Im(T) ≠ , desde que T(0) = 0 ∈ Im(T).
Se Im(T) = W  T é sobrejetora, ou