algebra linear

Espa¸os Vetoriais c Notas de aulas
Altemir Jos´ Borges e Curitiba
Setembro de 2011

1

Sum´rio a 1 Espa¸o Vetorial c 1.1

3

Defini¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 3

1.1.1

Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Subespa¸os vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 4

1.2.1

Defini¸˜o ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Interse¸˜o de subespa¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca c

7

1.2.4

Soma de subespa¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 8

1.3

Combina¸˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 8

1.4

Subespa¸o gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 9

1.5

Dependˆncia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 9

1.6

Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.7

Mudan¸a de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 19

1.8

Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2

2

Cap´ ıtulo 1
Espa¸o Vetorial c 1.1

Defini¸˜o ca Espa¸o vetorial sobre um corpo K ´ um conjunto n˜o vazio V de elementos u, v, w, · · · , chamados de c e a .
+
ca vetores, munido das opera¸˜es soma + : V × V −→ V e multiplica¸˜o por escalar . : R × V −→ V, tais co que, para todos u, v, w de V e a e b reais tenha-se:
A1 (u + v) + w = u + (v + w)
A2 u+v=v+u
A3 Existe um elemento 0, chamado vetor nulo, em V