Z 2 Em R3

agora, usamos sempre o sistema de coordenadas cartesiano, ou seja: dados três eixos perpendiculares no espaço, representamos um ponto P pelas três projeções (coordenadas) deste ponto sobre cada eixo coordenado, ou seja, P = (x, y, z ) . Prof. Alex G. Dias Prof. Alysson F. Ferrari Esta não é a única forma de especicar um ponto no espaço. Podemos, por exemplo, considerar a esfera centrada na origem passando por P. A posição de P na esfera pode ser…

Albuquerque rpa@dmat.uevora.pt ´ Departamento de Matem´tica da Universidade de Evora a ´ Rua Rom˜o Ramalho, 59, 7000-671 Evora, Portugal a 10 de Maio de 2009 — Primeira vers˜o — a ´ Albuquerque, Exerc´ ıcios de Algebra Linear e Geometria Anal´ ıtica 2 Breve explica¸˜o da origem destes exerc´ ca ıcios ´ Aqueles que leiam o nosso “Prontu´rio de Algebra Linear e Geometria Anal´ a ıtica”, texto escrito para o curso de alga das licenciaturas em ramos da Engenharia e da F´ ısica…

(m) A: área de secção (m²) R: Resistência (V/A– Ohm Aula 47 Tiago Prof. Associação de Resistores i Sér e U T U1  U 2  U 3 .... RE R1  R2  R3 .... Resistores Iguais: RE n.R Aula 48 Tiago Prof. Associação de Resistores Paralel A B A B U Aula 48 Tiago Prof. A B A B Para dois Resistores iT i1  i2  i3 .... 1 1 1 1    ... Req R1 R2 R3 R1.R2 Req  R1  R2 Resistores Iguais: R Req  n Aula 48 Tiago Prof. Rede elétrica residêncial EXTRA Tiago…

3  − 2 − 7 0 0 1 0 a)   b)  4 − 2 c) 4 0 d)  1  e) 0 0 f) 0 1 2 8 −1          6.2 Sabendo que as matrizes do exercício precedente representam transformações lineares T : R 2 → R 2 , represente as rectas que se transformam em si próprias por aplicação de T. 6.3 Encontrar os valores próprios e os vectores póprios para as seguintes matrizes: 1  4 0 1 3 0 − 5  − 2 0  −1 0 1  − 2 1 0 b)  1 − 1 0  c)  − 6 − 2 0  d)  − 1 3 0  a)   5      …

e y = f(x). Para funções de 2 variáveis o gráfico está em R3 e z = f(x, y). Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3. Representação Geométrica de uma f(x,y) z z = f(x,y) (x,y) y x Uma f(x, y) é representada por planos ou superfícies no espaço Exemplos de funções de 2 variáveis Ex1: A função é z = f(x, y) = 5 A superfície é um plano infinito, paralelo a x, y e passando por z = 5. Ex2: A função é z = f(x, y) = 6 – 2 x + 3y. Esta…

C´alculo III Alexandre N. Carvalho, Wagner V. L. Nunes e S´ergio L. Zani 2 Sum´ ario 1 A F´ ormula de Taylor 1.1 F´ormula e polinˆomio de Taylor para fun¸c˜oes de uma vari´avel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 F´ormula e polinˆomio de Taylor para fun¸c˜oes de duas vari´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 M´ aximos e m´ınimos 2.1 Defini¸c˜ao e resultados gerais . . 2.2 Teste do hessiano . . . . . . . . 2.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . 2.4 Extremos de fun¸c˜oes em regi˜oes

x2 + 4y 2 + 2. Resp. Temos que: z = f (x, y) = x2 + 4y 2 + 2 y2 z = x2 + 1 2 + 2 (2) y2 z − 2 = x2 + 1 2 . (2) (1) Apenas olhando a equação 1 e usando as informações do livro texto, já podemos concluir que 1 é um parabolóide Elíptico. Porém, vamos procurar as Curvas de Níveis, tomando k = 4, 6 e 8 temos: k=4 4 = x2 + 4y 2 + 2 x2 + 4y 2 = 2 x2 + 2y 2 = 1 2 x2 y2 √ + 2 = 1. ( 2)2 1 √ 2 k=6 6 = x2 + 4y 2 + 2 x2 + 4y 2 = 4 x2 y 2 + =1 4 1 x2 y2 + 2 = 1. (2)2 1 1 k=8 8 = x2 + 4y 2 +…

ponto A e as coordenadas do vetor diretor, logo podemos substituir as informações na formula de equação vetorial: A(3,0,-5) e = (2,2,-1) P= (3,0,-5) + (2,2,-1)t P= (3,0,5) + (2t,2t,-1t) P=(3+2t, 2t, 5-t) que é equação vetorial da reta r procurada. 2) Equações paramétricas Uma reta fica perfeitamente definida se conhecermos um de seus pontos e uma direção paralela a ela. Sejam então: A(xo, yo) um ponto da reta, u = (a, b) um vetor paralelo à reta e P(x, y) um ponto genérico dessa reta.…

60H/A EMENTA: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Vetores no Plano e no Espaço Produto Escalar Produto Vetorial Norma; Vetor Unitário; Versor Equações de Retas Equações de planos Matrizes e Sistemas. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO 1. Espaço Afim Seja R o corpo dos números reais e consideremos os termos ordenados (x, y, z) desse corpo. O conjunto de todos esses termos ordenados é o produto cartesiano: R X R X R = R3 O conjunto R3 é chamado espaço afim. Os números reais x, y, z são…

uma matriz 2x2 A= Onde: A= 2 . 4 – 3 . 1 (diagonal principal) (diagonal secundária) A=8-3 A=5 Determinante de uma matriz 3x3 A= A=1 . 1 . 2 + 3 . 2 . 3 + 4 . 1 . 5 – (5 . 1 . 3 + 2 . 1 . 1 + 4 . 3. 2)= A=2+18+20-(15+2+24)= A=40-41 A=-1 Propriedades das determinantes Determinantes igual a 0. A determinante de uma matriz é igual a 0 quando: 1- Uma linha ou uma coluna for nula. =0 2- Quando duas linhas ou duas…