Trabalhos de scratch

Capítulo 6 Valores próprios e vectores próprios
6.1 Encontrar os valores e vectores próprios das seguintes matrizes: 3 0  10 − 9 0 3  − 2 − 7 0 0 1 0 a)   b)  4 − 2 c) 4 0 d)  1  e) 0 0 f) 0 1 2 8 −1          6.2 Sabendo que as matrizes do exercício precedente representam transformações lineares T : R 2 → R 2 , represente as rectas que se transformam em si próprias por aplicação de T. 6.3 Encontrar os valores próprios e os vectores póprios para as seguintes matrizes: 1  4 0 1 3 0 − 5  − 2 0  −1 0 1  − 2 1 0 b)  1 − 1 0  c)  − 6 − 2 0  d)  − 1 3 0  a)   5       − 2 0 1 1 1 − 2  19 5 − 4 − 4 13 − 1         2  5 0 1 5 6  1 1 0 f) 0 − 1 − 8 e)     − 7 1 0 1 0 − 2     6.4 Encontrar os valores próprios e bases para os espaços próprios das seguintes matrizes: 0 0 0 2 0 10 − 9 0 1 0 1 0 4 −2 0 0   b)   a) 0 − 2 − 7 0 1 − 2 0 0     0 1 2 0 0 0 1  0 6.5 Seja T : R 2 → R 2 uma transformação linear definida por T ( a0 + a1 x + a2 x 2 ) = ( 5a0 + 6 a1 + 2 a2 ) − ( a1 + 8a2 ) x + ( a0 − 2 a2 ) x 2 a) Encontrar os valores próprios da transformação. b) Encontrar os espaços próprios da transformação. 6.6 Seja T : M 2,2 → M 2,2 uma transformação linear definida por: a12    2a 21 a11 + a21   a T   11   =  a − 2a  a  a 22  21    21 a 22    12 a) Encontrar os valores próprios de T. b) Encontrar os vectores próprios de T. 6.7 Prove que a existência de um valor próprio λ = 0, para uma transformação linear T, é equivalente ao facto de T ser não invertível. 6.8 Quais as dimensões dos espaços próprios de cada uma das matrizes:

4  1 −4 2  1 1 1 6 0 0 4 1 1 a)  b) − 4 1 − 2 c) 1 1 1 d) 0 3 3 e)         0 1 1  2 − 2 − 2 1 1 1 0 3 3        0 nota- não calcule os vectores próprios.

4 4 0 0

0 0 0 0

0 0  0  0

6.9 Encontre as matrizes unitárias que diagonalizam 0 − 36  −2 3 1  1 i a b   −