Resolução de calculo

Resolução da Tarefa 1

1. Usando curvas de nível, desenhe o gráfico de f (x, y) = x2 + 4y 2 + 2. Resp. Temos que: z = f (x, y) = x2 + 4y 2 + 2 y2 z = x2 + 1 2 + 2 (2) y2 z − 2 = x2 + 1 2 . (2)

(1)

Apenas olhando a equação 1 e usando as informações do livro texto, já podemos concluir que 1 é um parabolóide Elíptico. Porém, vamos procurar as Curvas de Níveis, tomando k = 4, 6 e 8 temos: k=4 4 = x2 + 4y 2 + 2 x2 + 4y 2 = 2 x2 + 2y 2 = 1 2 x2 y2 √ + 2 = 1. ( 2)2 1 √ 2 k=6 6 = x2 + 4y 2 + 2 x2 + 4y 2 = 4 x2 y 2 + =1 4 1 x2 y2 + 2 = 1. (2)2 1 1

k=8 8 = x2 + 4y 2 + 2 x2 + 4y 2 = 6 x2 √ + ( 6)2 y2
3 2 2

= 1.

As curvas de níveis para k = 4, 6 e k = 8 podem ser observadas na figura abaixo: y 3

2

1

x −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4

−2

−3

Agora vamos analisar o plano yz tomando x = 0, temos z = 4y 2 + 2 é uma parábola passando pelo eixo z no ponto (y, z) = (0, 2)
6 z

5

4

3

2

1

y −3 −2 −1 1 2 3

2

Para o plano xz tomando y = 0, temos z = x2 + 2 é uma parábola passando pelo eixo z no ponto (x, z) = (0, 2) z 5

4

3

2

1

x −3 −2 −1 1 2 3

Fazendo a intersecção dos planos xy, xz, yz temos o seguinte gráfico.

2. Considere a função f (x, y) =

x3 x2 +y 2

0 3

se (x, y) = (0, 0) . se (x, y) = (0, 0)

(a) Usando a definição de derivadas parciais, calcule Resp. ∂f f (0 + h, 0) − f (0, 0) (0, 0) = lim = lim h→0 h→0 ∂x h f (0, 0 + h) − f (0, 0) ∂f (0, 0) = lim = 0. h→0 ∂y h h3 h2

∂f (0, 0) ∂x

e

∂f (0, 0). ∂y

−0 h3 = lim 3 = 1 h→0 h h

(b) Usando a definição de derivada, verifique se f é diferenciável em (0, 0). Resp. Vamos verificar se f é diferenciável em (0,0). De acordo com a definição (2.1) f é diferenciável em (0, 0) se as derivadas parciais existirem em (0, 0) e se ∂f ∂f f (x, y) − f (0, 0) − (0, 0)(x − 0) − (0, 0)(y − 0) ∂x ∂y lim = (x,y)→(0,0) x2 + y 2 0. Pelo item a) sabemos que as derivadas parciais existem no ponto (0, 0). Agora vamos calcular o limite. ∂f ∂f (0, 0)(x − 0) − (0, 0)(y − 0)