Álgebra abstrata

objetivos Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: • Apresentar a relação de congruência módulo I. • Identificar os passos que levam à caracterização de um anel quociente. • Apresentar e demonstrar as primeiras propriedades operatórias da congruência módulo I. Você vai precisar dos conhecimentos sobre anéis e ideais, desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 do curso de Álgebra I. Você também vai precisar dos conceitos de ideal de Z e dos anéis dos inteiros módulo n, do seu curso de Álgebra I. AULA Pré-requisitos Álgebra II | Anéis quocientes INTRODUÇÃO Bem-vindo ao curso de Álgebra II. Aqui vamos estudar duas importantes e belíssimas estruturas algébricas: os anéis e os grupos. Estas teorias têm raízes em problemas muito longínquos que relativamente há pouco tempo foram resolvidos. Nesta aula, vamos copiar a construção dos anéis dos inteiros módulo n, visto no seu curso de Álgebra I, para o caso geral de um anel A e de um ideal I de A. Portanto, é uma boa idéia rever as aulas daquele curso. Você perceberá uma idéia que é recorrente na matemática: a construção de uma estrutura abstrata geral seguindo os passos de um exemplo particular muito importante. EXPANDINDO O CONCEITO DE CONGRUÊNCIA Definição 1 Sejam A um anel e I um ideal de A. Definimos a seguinte relação binária em A: a ≡ b (mod I) ⇔ b − a ∈ I Dizemos, neste caso, que a e b são congruentes módulo I. Esta relação satisfaz às seguintes propriedades, que a tornam uma relação de…

Introdução à Álgebra Abstrata - 1 Introdução à Álgebra Abstrata - 2 Jaime Evaristo Mestre em Matemática Professor Adjunto Instituto de Computação Universidade Federal de Alagoas Eduardo Perdigão Doutor em Matemática Professor Aposentado Instituto de Matemática Universidade Federal de Alagoas Introdução à Álgebra Abstrata Segunda Edição Formato Digital Maceió, fevereiro de 2011 Introdução à Álgebra Abstrata - 3 Sumário Prefácio (da primeira…

Breve Hist´ria da o ´ Algebra Abstrata C´sar Polcino Milies e Instituto de Matem´tica e Estat´ a ıstica Universidade de S˜o Paulo a Caixa Postal 66.281 05311-970 - S˜o Paulo - Brasil a polcino@ime.usp.br 2 i Introdu¸˜o ca A ´lgebra, tal como apresentada hoje nos nossos cursos universit´rios, a a costuma resultar de dif´ compreens˜o aos nossos estudantes, precisamente ıcil a por seu car´cter abstrato. Normalmente, uma estrutura ´ definida a partir a e dos axiomas que a…

Álgebra linear é um ramo da matemática que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas algébricas ou diferenciais. A álgebra linear se utiliza de alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, sistemas de equações lineares e matrizes. Assim a álgebra se expandiu por várias áreas da matemática e hoje estuda desde situações mais elementares e perceptíveis até situações bem mais complexas e…

Álgebra definição A álgebra é um dos ramos da matemática que recorre a números, letras e sinais (símbolos) para generalizar as diversas operações aritméticas. O termo provém do latim algĕbra que, por sua vez, deriva de um vocábulo árabe que significa “reunião” ou “reacomodação das partes quebradas”. A sua origem etimológica prende-se com o facto de que, nos tempos de outrora, se chamava álgebra à arte que visava reduzir os ossos deslocados ou fracturados/partidos. Porém, este…

Álgebra Ramo da Matemática que trata, entre outras coisas, de equações e funções. É dividida em álgebra clássica e abstrata. A álgebra clássica trata, quase que exclusivamente, de equações e funções envolvendo apenas os números “comuns” (inteiros positivos e negativos, frações e decimais), as quatro operações aritméticas (+, -, x, ÷) e duas operações “especiais”, a potenciação (por exemplo, elevar um número ao quadrado ou ao cubo) e a radiciação (por exemplo, achar a raiz…

Algebra Ramo da matemática que trata, entre outras coisas, da solução de equações, muitas delas conhecidas desde a Antiguidade. Por exemplo: sabe-se que um homem deve R$ 75 e que essa dívida é três vezes o que ele ganha, menos a metade dessa quantia. Qual é o salário do homem? Basta montar uma equação: 75 é igual a três vezes o salário, menos o salário dividido por dois. Usando símbolos, se escreve 75 = 3xS - S/2. A álgebra ensina a manipular os símbolos e os números da equação e a…

Álgebra Ramo da Matemática que trata, entre outras coisas, de equações e funções. É dividida em álgebra clássica e abstrata. A álgebra clássica trata, quase que exclusivamente, de equações e funções envolvendo apenas os números "comuns" (inteiros positivos e negativos, frações e decimais), as quatro operações aritméticas (+, -, x, ÷) e duas operações "especiais", a potenciação (por exemplo, elevar um número ao quadrado ou ao cubo) e a radiciação (por exemplo, achar a…

menos o salário dividido por dois. Usando símbolos, se escreve 75 = 3xS - S/2. A álgebra ensina a manipular os símbolos e os números da equação e a achar a resposta, que é R$ 30. Dois mil anos depois de sua invenção pelos antigos caldeus, a álgebra continua utilíssima, pois está relacionada diretamente ao desenvolvimento de novas tecnologias e produtos. Uma aplicação moderna das equações algébricas seria determinar a forma de uma caixa de papelão de modo que nela caiba exatamente 1 litro…

Buscando uma definição Euclides: painel em mármore, Museu dell'Opera del Duomo Há muito tempo busca-se um consenso quanto a definição do que é a Matemática. No entanto nas últimas décadas do século XX tomou forma uma definição que tem ampla aceitação entre os matemáticos: matemática é a ciência das regularidades (padrões). Segundo esta definição, o trabalho do matemático consiste em examinar esses padrões abstratos que tanto podem ser reais como imaginárias, visuais ou mentais. Ou…