Álgebra abstrata

Anéis quocientes

Meta da aula

Apresentar o desenvolvimento da estrutura algébrica de anel quociente.

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objetivos

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: • Apresentar a relação de congruência módulo I. • Identificar os passos que levam à caracterização de um anel quociente. • Apresentar e demonstrar as primeiras propriedades operatórias da congruência módulo I.

Você vai precisar dos conhecimentos sobre anéis e ideais, desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 do curso de Álgebra I. Você também vai precisar dos conceitos de ideal de Z e dos anéis dos inteiros módulo n, do seu curso de Álgebra I.

AULA

Pré-requisitos

Álgebra II | Anéis quocientes

INTRODUÇÃO

Bem-vindo ao curso de Álgebra II. Aqui vamos estudar duas importantes e belíssimas estruturas algébricas: os anéis e os grupos. Estas teorias têm raízes em problemas muito longínquos que relativamente há pouco tempo foram resolvidos. Nesta aula, vamos copiar a construção dos anéis dos inteiros módulo n, visto no seu curso de Álgebra I, para o caso geral de um anel A e de um ideal I de A. Portanto, é uma boa idéia rever as aulas daquele curso. Você perceberá uma idéia que é recorrente na matemática: a construção de uma estrutura abstrata geral seguindo os passos de um exemplo particular muito importante.

EXPANDINDO O CONCEITO DE CONGRUÊNCIA Definição 1
Sejam A um anel e I um ideal de A. Definimos a seguinte relação binária em A: a ≡ b (mod I) ⇔ b − a ∈ I Dizemos, neste caso, que a e b são congruentes módulo I. Esta relação satisfaz às seguintes propriedades, que a tornam uma relação de equivalência.

Proposição 1
1. Propriedade Reflexiva a ≡ a (mod I) 2. Propriedade Simétrica Se a ≡ b (mod I), b ≡ a (mod I). 3. Propriedade Transitiva Se a ≡ b (mod I) e b ≡ c (mod I), então a ≡ c (mod I).

Demonstração
1. Basta observar que a − a = 0 ∈ I. 2. Como a ≡ b (mod I), então b − a ∈ I. Assim, a − b = −I. (b − a) ∈ I, pela condição I2 de subanel. Logo, b ≡ a (mod I).

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