Sejam A E B Conjuntos Tais Que A X X 3n Com N N E X 30 E

diferen¸a de dois n´ meros c u (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 Problema 1. (OCM) Prove que n˜o existem inteiros positivos a e b tais que a b2 +b a2 +a = 4. Solu¸˜o. Suponha que existam tais inteiros positivos a e b. A equa¸˜o dada ´ equivalente ca ca e 2 + b = 4 a2 + a = 4a2 + 4a. Isso lembra o quadrado de 2a + 1, que ´ 4a2 + 4a + 1. ab e Assim, seria bom somarmos 1 a cada lado, para obtermos b2 + b + 1 = 4a2 + 4a + 1. Por outro lado, b2 <…

Atividades de Conjuntos Conjuntos 01) Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das sentenças abaixo. f) a ∉ {a, {a}} a) 0 ∈ {0, 1, 2, 3, 4} g) a ⊂ {a, {a}} b) {a} ∈ {a, b} c) ∅ ∈ {0} h){ ∅ , {a, {a}} ⊃ {a} d) 0 ∈ ∅ i) ∅ ∈ { ∅ , {a}} j) {a, b} ∈ {a, b, c, d} e) {a} ⊂ ∅ 02) Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f, g} e C = {b, d, e, g}. Determine: a) A – B c) C – B e) A – (B ∩ C) b) B – A d) (A ∪ C) – B f) (A ∪ B) – (A ∩ C) 03) Sendo o conjunto A = {1, 2, 3,…

EXERCÍCIOS Disciplina Matemática Assunto Determinante Professora Cássia Coutinho EXERCÍCIOS - DETERMINANTE 01) (UFMG) Qual a afirmativa errada? a) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é igual a zero. b) O determinante de uma matriz não se altera quando se trocam na matriz duas linhas (ou colunas) entre si. c) O determinante de uma matriz fica multiplicado por k quando se multiplica uma linha (ou coluna) da matriz por k. d) A adição…

Gerais Belo Horizonte, 30/06/2007 Pe¸o a quem encontrar erros nas solu¸˜es a seguir entrar em contato com o autor no c co endere¸o nvieira@dcc.ufmg.br. Antecipadamente, agrade¸o c c 2 Cap´ ıtulo 1 Conceitos Preliminares 1.1 Representa¸˜o ca Nesta se¸˜o n˜o h´ exerc´ ca a a ıcios. 1.2 1. Prova de Teoremas a) A afirmativa (α ∧ β) → α s´ ´ falsa se α ∧ β ´ verdadeira e α ´ falsa. Mas a α ∧ β oe e e n˜o pode ser verdadeira se α ´ falsa. Assim, (α ∧ β) → α n˜o pode…

171 A Coordenadas polares 199 B Funções exponenciais e logaritmos 211 C Funções trigonométricas 221 Índice alfabético 231 Capítulo 1 Propriedades básicas dos números O objectivo deste capítulo não é a construção dos números reais; supõe-se conhecida a existência destes e far-se-á apenas um resumo das propriedades mais importantes das operações e da relação de ordem. 1.1 Operações de adição e multiplicação O conjunto dos números reais R, munido da…

Linear Definição: Seja {v1, v2 ,..., vn} um conjunto com n vetores. Dizemos que um vetor u é combinação linear desses n vetores, se existirem escalares a1 , a2 ,..., an ∈ ℜ tais que n u = a1v1 + a2 v 2 + ... + anv n , ou seja, u = ∑ aivi . i =1 Exemplo (1): Considere os vetores u = (−4,10,5) , v1 = (1,1,−2) , v2 = (2,0,3) e v 3 = (−1,2,3) . a) Escrever, se possível, o vetor u como combinação linear dos vetores v1 , v 2 e v 3 . b) Escrever, se possível, o…

diferen¸a de dois n´ meros c u (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 Problema 1. (OCM) Prove que n˜o existem inteiros positivos a e b tais que a b2 +b a2 +a = 4. Solu¸˜o. Suponha que existam tais inteiros positivos a e b. A equa¸˜o dada ´ equivalente ca ca e 2 + b = 4 a2 + a = 4a2 + 4a. Isso lembra o quadrado de 2a + 1, que ´ 4a2 + 4a + 1. ab e Assim, seria bom somarmos 1 a cada lado, para obtermos b2 + b + 1 = 4a2 + 4a + 1. Por outro lado, b2 <…

formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas seqüências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas? a) 3 b) 5 c) 8 d) 12 e) 16 2) (VUNESP) De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor? a) 120 b) 72 c) 24 d) 18 e) 12 3) (FGV - SP) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de…

a. θ ≠ nπ / n ∈ Z b. θ ≠ 2nπ/n ∈ Z π c. θ ≠ + nπ /n ∈ z 2 π d. θ ≠ + nπ/n ∈ Z 4 e. θ ∈ R 02 - (Mauá SP) Determine as condições que x deve satisfazer para que a matriz A seja invertível. ⎛1 2 3 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜1 3 x 5 ⎟ A=⎜ 1 3 4 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 6 5 x ⎟ ⎝ ⎠ 03 - (ITA SP) Sejam A, B e C matrizes reais 3 x 3, satisfazendo às relações AB = C-1, B = 2 A. Se o determinante de C é 32, qual é o valor do módulo do determinante de A ? a) 1/16 b) 1/8 c) 1/4 d) 8 e) 4 04 - (INTEGRADO RJ) O valor de a tal que 7 ⎤ ⎡ −11

índice "m" indica a quantidade de linhas da matriz e "n" a quantidade de colunas. Toda  a 11   a 21 matriz pode ser representada, genericamente, por: A =  ...  a  m1 a 12 a 22 ... a m2 ... a 1n   ... a 2 n  ... ...   ... a mn   Indicaremos por M mxn (ℜ) o conjunto de todas as matrizes de ordem mxn e com elementos reais. Se m = n, a matriz será chamada de matriz quadrada de ordem n e representada por M n (ℜ) ou simplesmente M n . Matriz quadrada é aquela que tem…