Produtos notáveis - Matemática

Polos Olímpicos de Treinamento
Aula

Curso de Álgebra - Nível 2
Prof. Marcelo Mendes

1

Produtos Not´veis a ´
V´rios problemas de Algebra para alunos do Ensino Fundamental utilizam Produtos a Not´veis, que s˜o identidades cl´ssicas envolvendo multiplica¸˜o de express˜es. a a a ca o Vejamos alguns exemplos para diversos produtos not´veis que auxiliar˜o na forma¸˜o a a ca de ideias para problemas futuros mais dif´ ıceis. 1 Quadrado da soma ou da diferen¸a de dois n´ meros c u
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Problema 1. (OCM) Prove que n˜o existem inteiros positivos a e b tais que a b2 +b a2 +a

= 4.

Solu¸˜o. Suponha que existam tais inteiros positivos a e b. A equa¸˜o dada ´ equivalente ca ca e 2 + b = 4 a2 + a = 4a2 + 4a. Isso lembra o quadrado de 2a + 1, que ´ 4a2 + 4a + 1. ab e
Assim, seria bom somarmos 1 a cada lado, para obtermos b2 + b + 1 = 4a2 + 4a + 1.
Por outro lado, b2 < b2 + b + 1 < b2 + 2b + 1 = (b + 1)2 pois b ´ um inteiro positivo. Como b2 e (b + 1)2 s˜o quadrados consecutivos, isso mostra e a que n˜o seria poss´ b2 + b + 1 ser o quadrado de um inteiro. a ıvel
No pr´ximo exemplo, vamos utilizar um fato util de pensar que um n´mero com todos o ´ u u os d´ ıgitos 1s, como 11...1, pode ser escrito na forma 99...9 . Se o n´mero possuir apenas o
9
d´ ıgito 4, por exemplo, como 44...4, ent˜o o escrevemos na forma 4 × 99...9 . A vantagem a 9 dessas altera¸˜es ´ saber que 99...9 = 10n −1 (verifique esse fato para quantidades pequenas co e n de 9s).

´
POT 2012 - Algebra - N´ ıvel 2 - Aula 1 - Prof. Marcelo Mendes

Problema 2. Seja n > 1 um n´mero inteiro. Prove que o n´mero u u

a e
11...1 44...4 n˜o ´ n 2n

racional.
√
Solu¸˜o. Mostrar que 11...144...4 n˜o ´ racional ´ equivalente a provar que 11...144...4 ca a e e n˜o ´ um quadrado perfeito. Ou seja, este problema tenta mostrar que n˜o h´ outros a e a a quadrados perfeitos com o formato