Matrizes, determinantes e sistemas lineares

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR

CAPÍTULO 1 MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

1 MATRIZES

HISTÓRICO O pai das matrizes foi Cayley que, em 1850 divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade. Elas surgiram para a resolução de Sistemas Lineares. Mas foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. No entanto, o primeiro uso implícito da noção de matriz se deve a Lagrange em 1790. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy que as chamavam de tabelas. O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância.

Definição: Chamamos de Matriz, a uma tabela organizada em linhas e colunas, denotada por
A = (a ij ) mxn , onde o par de índices "ij" , representam a posição de cada elemento a ij dentro da matriz, sendo que o índice "i" indica a qual linha pertence o elemento e "j" a qual coluna. O par de índices "mxn", representam o tamanho da matriz, sendo que o índice "m" indica a quantidade de linhas da matriz e "n" a quantidade de colunas. Toda

 a 11   a 21 matriz pode ser representada, genericamente, por: A =  ...  a  m1

a 12 a 22 ... a m2

... a 1n   ... a 2 n  ... ...   ... a mn  

Indicaremos por M mxn (ℜ) o conjunto de todas as matrizes de ordem mxn e com elementos reais. Se m = n, a matriz será chamada de matriz quadrada de ordem n e representada por M n (ℜ) ou simplesmente M n . Matriz quadrada é aquela que tem a mesma quantidade de linhas e colunas.

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Se m ≠ n, a matriz será chamada de matriz retangular de ordem mxn e representada por

M mxn (ℜ) ou simplesmente M mxn .

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Se m = n = 1, a matriz representa um único elemento, ou seja, M 1x1 = (a 11 ) = a 11 . Assim, todo número real pode ser representado por umas matriz de ordem