Resumo Algebra Linear

vetores: Dois vetores são ditos ortogonais quando fazem um ângulo de 90º entre si, portanto vai depender do produto interno mas, garantidamente, eles serão ortogonais se o produto interno entre eles for zero (cos90º = 0). Ou seja, são ortogonais se: 1 Resumo de Álgera Linear III unidade IMPORTANTE: Uma base é dita ORTOGONAL se todos os seus vetores são ortogonais entre si. É preferível que se trabalhe com bases ortogonais, pois facilita as contas. Obs.: O vetor nulo é ortogonal a TODOS os vetores, inclusive a ele mesmo. V. Normalização de vetores: Como a aparição de módulos de vetores é bastante regular nas contas, costuma-se trabalhar com vetores „normalizados‟, ou seja, vetores que possuem módulo igual a um. Para normalizar um vetor basta dividir o próprio vetor pelo seu módulo. Seja não normalizado, o vetor unitário (ou normalizado) é: . um vetor IMPORTANTE: Uma base é dita NORMAL se todos os seus vetores são normalizados. IMPORTANTE: Uma base é dita ORTONORMAL se for simultaneamente ORTOGONAL e NORMAL. VI. Processo de ortogonalização de vetores (Gram-Schmidt): Um método de se achar uma base ortogonal é através do processo de ortogonalização de vetores de Gram-Schmidt onde, a partir de vetores quaisquer, você vai obtendo vetores ortogonais entre si. Para se ter uma ideia geométrica, tomemos o espaço vetorial e o produto interno usual (ou canônico). Sejam dois vetores quaisquer, a ideia é obter um vetor , ortogonal a a partir de e…

Lineares • Tipos especiais de operadores Operadores Auto-Adjuntos Operadores Ortogonais • Teorema: Sejam V um espaço vetorial com produto interno < , > e α = {u1, ..., un} base ortonormal de α. Então, se v e w são vetores de V com y1 x1 [v]α = … e [w]α = … xn yn • Temos: = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 2 Tipos Especiais de Operadores Lineares • Em outras palavras, ao trabalharmos com uma base ortonormal, para efetuar o…

Vetorial com produto Interno Espa¸co Vetorial canˆ onico Ortogonalidade e bases ortonormais Mudan¸ca de Bases Matrizes ortogonais Autovalores e autovetores Diagonaliza¸c˜ ao Referencias Summary 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Defini¸c˜ao de E. V. Subespa¸co Dependencia Linear Base e Dimens˜ao Produto interno Espa¸co Vetorial Euclidiano Ortonormalidade Ortonormalidade processo de ortonormaliza¸c˜ao Mudan¸ca de Bases Matrizes ortogonais Autovalores e…

vetores u e v de dizem-se ortogonais se = 0. Exemplo: Sejam os vetores u= (2, 1, -3, -4) e v= (2, -12, -4, 1) R4. Eles são ortogonais pois: = (2, 1, -3, -4)(2, -12, -4, 1) = 0 Obs.: O vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor,pois: u. (0, 0..., 0) = 0  u . Conjunto ortogonal Definição: Seja V um espaço vetorial. Diz-se que umconjunto de vetores B={v1, v2, ..., Vn} V é ortogonal se seus vetores são ortogonais dois a dois, ou seja: = 0, para i ≠ j. Exemplo 1: Seja o…

— Operadores Ortogonais Defini¸ca˜o Uma matriz M , n×n, ´e dita ortogonal quando sua inversa ´e igual a` sua transposta, isto ´e, quando M −1 = M t . Ou seja, M ´e ortogonal quando M t M = I. 5.5 — Operadores Ortogonais Defini¸ca˜o Uma matriz M , n×n, ´e dita ortogonal quando sua inversa ´e igual a` sua transposta, isto ´e, quando M −1 = M t . Ou seja, M ´e ortogonal quando M t M = I. Exemplo A matriz M= ´e ortogonal. √ √ 1/ √ 2 1/√2 −1/ 2 1/ 2 5.5 —…

vetor e ângulos entre dois vetores. Esses conceitos permitirão uma melhor compreensão do que seja uma base ortogonal e uma base ortonormal em um EV e, principalmente, nos darão a noção de “medida” que nos leva a precisar conceitos como o de área, volume, distância, etc. Consideremos inicialmente o plano R2, munido de um referencial cartesiano ortogonal (eixos perpendiculare0 e um ponto P(x,y). Vamos calcular a distância do ponto P à origem O (0,0) Observando a figura e…

ainda, neste caso, autovetores associados a autovalores diferentes s˜ao ortogonais. Da´ı os “blocos” que constituem a matriz P s˜ao dois a dois ortogonais. Diagonaliza¸c˜ao de matrizes sim´etricas Se An×n ´e uma matriz sim´etrica, ent˜ao autoespa¸cos associados a autovalores diferentes s˜ao subespa¸cos ortogonais de Rn . Diagonaliza¸c˜ao de matrizes sim´etricas Se An×n ´e uma matriz sim´etrica, ent˜ao autoespa¸cos associados a autovalores diferentes s˜ao subespa¸cos…

Componentes: Carlos Augusto Ewerton F. Monteiro Geraldo Deniro Raphael F. Rabello Yuri S. Camargo ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS ÍNDICE Introdução  Produto Interno  Módulo  Ortogonalidade  Bases Ortoganais  Bases Ortonormais  Aplicações  Exercícios  Espaço euclidiano é um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno. Por volta de 300 a.C., o matemático grego Euclides estabeleceu as leis do que veio a ser chamado “Geometria…

espaço vetorial euclidiano V. A desigualdade de Schwartz , pode ser escrita como: ou O que implica: Por esse motivo, pode-se dizer que essa fração é o co-seno de um ângulo , denominado ângulo dos vetores e : Vetores Ortogonais Seja V um espaço vetorial Euclidiano. Diz-se que dois vetores e de V são ortogonais, e se representa por , se, e somente se, . Exemplo: seja um espaço vetorial euclidiano em relação ao produto interno . Em relação a este produto interno,…

vetoriais Estamos interessados em formalizar os conceitos de comprimento de um vetor e ângulos entre dois vetores. Esses conceitos permitirão uma melhor compreensão do que seja uma base ortogonal e uma base ortonormal em um EV e, principalmente, nos darão a noção de “medida” que nos leva a precisar conceitos como o de área, volume, distância, etc. Consideremos inicialmente o plano R2, munido de um referencial cartesiano ortogonal (eixos perpendiculare0 e um ponto P(x,y). Vamos calcular…