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II -Produto interno em espaços vetoriais Euclidianos
1. Produto interno em espaços vetoriais
Estamos interessados em formalizar os conceitos de comprimento de um vetor e ângulos entre dois vetores. Esses conceitos permitirão uma melhor compreensão do que seja uma base ortogonal e uma base ortonormal em um EV e, principalmente, nos darão a noção de “medida” que nos leva a precisar conceitos como o de área, volume, distância, etc. Consideremos inicialmente o plano R2, munido de um referencial cartesiano ortogonal (eixos perpendiculare0 e um ponto P(x,y). Vamos calcular a distância do ponto P à origem O (0,0)

Observando a figura e utilizando o teorema de Pitágoras, temos que d = . Podemos também, interpretar este resultado dizendo que o comprimento (que passaremos a chamar de norma) do vetor (x,y) é:

Por outro lado, se tivéssemos dois vetores u = (x1,y1) e v =(x2, y2), podemos definir um “produto” de u por v assim:

produto este chamado de produto escalar interno usual e que tem uma relação importante com a norma de um vetor v = (x,y).

Se, ao invés de trabalharmos no R2, estivéssemos trabalhando no R3 (munidos de um referencial cartesiano ortogonal), teríamos encontrado uma expressão similar para o produto escalar:

E a mesma relação com a norma de um vetor v = (x,y,z)

Voltando ao caso do plano, se tivéssemos trabalhando com um referencial não ortogonal (eixos não perpendiculares), e quiséssemos calcular a distância da origem até um ponto P (cujas coordenadas em relação ao referencial fossem (x,y)), teríamos, usando o Teorema de Pitágoras:

Obseve que, se usássemos o produto escalar= neste caso não valeria a relação = , mas ela passaria a valer se usássemos a seguinte regra para o produto:

Portanto, novamente a noção de distância poderia ser dada a partir de um produto interno de vetores. Concluímos destes exemplos, que o processo usado para se determinar “medidas” num espaço pode variar e, em cada caso, precisamos ser bem claros sobre